Question

10．有個演示實驗，在上、下兩面都是金屬板的玻璃盒內，放了許多錫箔紙揉成的小球，當上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動．現(xiàn)取以下簡化模型進行定量研究．如圖所示，電容量為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電動勢為e、內阻可不計的電源相連．設兩板之間只有一個質量為m的導電小球，小球可視為質點．已知：若小球與極板發(fā)生碰撞，則碰撞后小球的速度立即變?yōu)榱�，帶電狀態(tài)也立即改變，改變后，小球所帶電荷符號與該極板相同，電量為極板電量的α倍（α＜＜1）．不計帶電小球對極板間勻強電場的影響．重力加速度為g．
（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運動，電動勢e至少應大于多少．
（2）設上述條件已滿足，在較長的時間間隔丁內小球做了很多次往返運動．求：
a．小球做一次往返運動所需要的時間；
b．在T時間內通過電源的總電量．

Answer 1

分析 這是一道高考原題，玻璃球與與電源相連的金屬板相碰后帶上同種電，由于互相排斥而離開分別做勻變速運動．由于與上、下板碰撞后帶電的電性不一樣，則小球受到的電場力不相同，加速度也不同．
（1）要使小球能往返運動，則向上的電場力應大于重力，寫出相應的關系式，代入就可求得電動勢的最小值．
（2）先據(jù)牛頓第二定律求出向上和向下的加速度，再由運動學公式求出向上和向下的時間．則上下往返的次數(shù)也就求出來了，由于每次往返獲得的電量為2q，則時間T
內通過電源的總量也能求出．

解答 解：（1）用Q表示極板電荷量的大小，q表示碰后小球電荷量的大小．要使小球能不停地往返運動，小球所受的向上的電場力至少應大于重力，則：
$\frac{eq}cuwi2ie＞mg$…①
其中q=αQ…②
Q=Ce…③
聯(lián)立得：$e＞\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$  
（2）當小球帶正電時，小球所受電場力與重力方向相同，向下做加速運動．以a₁表示其加速度，t₁表示從A板到B板所用的時間，則有：
$\frac{eq}q0scc6u+mg=m{a}_{1}$…④
$d=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$…⑤
當小球帶負電時，小球所受電場力與重力方向相反，向上做加速運動，以a₂表示其加速度，t₂表示從B板到A板所用的時間，則有：
$\frac{eq}eisquu0-mg=m{a}_{2}$…⑥
$d=\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$…⑦
小球往返一次共用時間為：（t₁+t₂）=$\sqrt{\frac{2m4yq4uwy^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mmgyamuy^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}$
故小球在T時間內往返的次數(shù)：$n=\frac{T}{{t}_{1}+{t}_{2}}$…⑧
由以上關系式得到：$n=\frac{T}{\sqrt{\frac{2mseyoyma^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2m6aqgm82^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．
小球往返一次通過的電量為2q，在T時間內通過電源的總電量Q'=2qn．由以上兩式可得：Q′=$\frac{2αCeT}{\sqrt{\frac{2mcwys2mi^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mayygqww^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．
答：（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運動，電動勢e至少應大于$\sqrt{\frac{mgd}{αC}}$．
（2）a．小球做一次往返運動所需要的時間=$\sqrt{\frac{2makkgoou^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mkkmaoeu^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}$．b．在T時間內通過電源的總電量為$\frac{2αCeT}{\sqrt{\frac{2m4w8esic^{2}}{αC{e}^{2}+mgd}}+\sqrt{\frac{2mggik60g^{2}}{αC{e}^{2}-mgd}}}$．

點評 值得注意的是小球每發(fā)生一次碰撞，則速度立即變?yōu)榱悖�電量也相應變成電性相反的等量電荷，然后做勻加速直線運動．這還是屬于牛頓運動定律的應用問題，只不過碰撞后初狀態(tài)和受力發(fā)生變化罷了．