Question

13．宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面上，從h高度處水平拋出一物體，經(jīng)時(shí)間t落到星球表面上，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，不計(jì)該星球的自轉(zhuǎn)，求：
（1）該星球表面的重力加速度g
（2）該星球的質(zhì)量M
（3）該星球的第一宇宙速度υ₁．

Answer 1

分析 （1）小球豎直方向做自由落體，由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式可以求出重力加速度；
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力可以求出星球的質(zhì)量．
（3）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬(wàn)有引力，聯(lián)立方程即可求出該星球的第一宇宙速度υ₁；

解答 解：（1）小球球豎直方向做自由落體，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得，星球表面的重力加速度：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
（2）星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得星球質(zhì)量：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（3）衛(wèi)星繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)，重力（萬(wàn)有引力）提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度為：v=$\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$；
答：（1）該星球表面的重力加速度為$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）該星球得質(zhì)量為$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（3）該星球的第一宇宙速度為$\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$．

點(diǎn)評(píng) 重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)其向心力由引力提供．