Question

15．如圖所示，有一類似過(guò)山車的建議軌道裝置，它由彈射裝置，水平軌道和豎直平面內(nèi)的兩個(gè)圓形軌道組成，小球被彈射后獲得一個(gè)速度，依次經(jīng)過(guò)水平軌道AB、第一圓軌道、水平軌道BC后，進(jìn)入第二圓軌道完成一系列活動(dòng)，B、C分別是兩個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，第一個(gè)圓軌道的半徑R₁=2.0m，一個(gè)質(zhì)量m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）被彈射后獲得v₀=12.0m/s的速度，從水平軌道左側(cè)A點(diǎn)沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距離L₁=6.0m，B、C間距L₂=12.0m，小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道光滑，空氣阻力忽略不計(jì)，g=10m/s²
求：（1）小球第一次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，第一圓軌道對(duì)小球支持力F的大��；
（2）如果要使小球不脫離第二圓軌道，且兩圓形軌道不相互重疊，第二個(gè)圓軌道半徑R₂應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）從A到B的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求得小球第一次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度．在B點(diǎn)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求第一圓軌道對(duì)小球支持力F的大小；
（2）如果要使小球不脫離軌道，有兩種情況，一種是小球通過(guò)第二軌道的最高點(diǎn)，根據(jù)第二軌道最高點(diǎn)的最小速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出第二圓軌道的半徑范圍．另一種情況是小球不越過(guò)第二圓軌道的四分之一圓弧，根據(jù)動(dòng)能定理求出最小半徑，再根據(jù)幾何關(guān)系，抓住兩軌道不能相切，求出最大半徑．即可得到R₂應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）從A到B的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
-μmgL₁=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在B點(diǎn)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{1}}$
聯(lián)立解得：F=70N
（2）小球不脫離第二圓軌道，有兩種情況：
Ⅰ：小球能通過(guò)第二圓軌道的最高點(diǎn)，有：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
從A到第二圓軌道的最高點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理有：-μmg（L₁+L₂）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入數(shù)據(jù)解得：R₂≤0.8m．
Ⅱ：當(dāng)小球上升高度不能超過(guò)第二圓軌道的半徑時(shí)，從A運(yùn)動(dòng)到速度為零時(shí)，由動(dòng)能定理有：
-μmg（L₁+L₂）-mgR₂=0-$\frac{1}{2}$mv₀²；
代入數(shù)據(jù)解得：R₂=3.6m．
又因?yàn)閮绍壍啦荒芟嗷ブ丿B，則兩圓相切時(shí)，有：
（R₁+R₂）²-（R₂-R₁）²=L₂²，
代入數(shù)據(jù)解得：R₂=18m．
綜合Ⅰ、Ⅱ可得，小球不脫離第二圓軌道應(yīng)滿足的條件是：
0≤R₂≤0.8m或3.6m≤R₂≤18m．
答：（1）小球第一次通過(guò)B點(diǎn)時(shí)，第一圓軌道對(duì)小球支持力F的大小是70N；
（2）如果要使小球不脫離第二圓軌道，且兩圓形軌道不相互重疊，第二個(gè)圓軌道半徑R₂應(yīng)滿足的條件是0≤R₂≤0.8m或3.6m≤R₂≤18m．

點(diǎn)評(píng) 選取研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過(guò)圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．