Question

在光滑絕緣水平面上固定一個內壁光滑的豎直圓筒S，其俯視圖如圖，圓筒半徑為1m．圓筒軸線與水平面的交點O處用一根不可伸長的長0.5m的絕緣細線系住質量為0.2kg，電量為5×10^-5C的帶正電小球．水平方向有一勻強電場E=4×10⁴N/C，方向如圖所示．小球從圖示位置（細線和電場線平行）以v₀=10m/s垂直于場強方向運動．當小球轉過90°時細線突然斷裂．求：
（1）細線斷裂時小球的速度大�。�
（2）若在圓心O處用一根牢固、不可伸長、長為0.5m的絕緣細線系住小球（質量和電量均不變），小球從原位置以初速度10m/s垂直于場強方向開始運動，為保證小球運動過程中細線始終不松弛，求電場強度E大小的取值范圍；
（3）在（1）的情況下，細線斷裂后小球繼續(xù)運動并與筒壁碰撞，若小球與筒內壁碰后不反彈，求小球繼續(xù)沿筒內壁運動的最小速度．

Answer 1

（1）從開始到轉過90°的過程中，根據動能定理，有：
-qEL=

1

2

m

v

21

-

1

2

m

v

20

解得：
v1=3

10

m/s（或v₁=9.49m/s）
（2）分兩種情況：
①從圖示位置轉過90⁰，小球速度減為0，則：
-qE₁L=0-

1

2

m

v

20

解得：
E₁=4×10⁵N/C
②從圖示位置轉過180⁰，繩剛好松弛，則：
-qE2?2r=

1

2

m

v

2min

-

1

2

m

v

20

在速度最小點，電場力恰好提供向心力，根據牛頓第二定律，有：
qE2=m

v 2min

r

解得：
E₂=1.6×10⁵N/C
所以E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C．
（3）細線斷裂后，做勻減速直線運動直到碰到圓筒，設碰前瞬間速率為v₂，則
-qE?

r2-L2

=

1

2

m

v

22

-

1

2

m

v

21

解得v2=

90-10 3

m/s（或v₂=8.53m/s）
小球碰筒壁后，沿圓筒切向速度為：
v₃=v₂sin30°
對小球繼續(xù)做圓周運動過程，根據動能定理，有：
-qE?r（1-cos30°）=

1

2

m

v

24

-

1

2

m

v

23

解得最小速率：
v4=

5+15 3 2

m/s（或v₄=3.94m/s）
答：（1）細線斷裂時小球的速度大小為9.49m/s．
（2）為保證小球接下來的運動過程中細線都不松弛，電場強度E的大小范圍E≤1.6×10⁵N/C或E≥4×10⁵N/C．
（3）小球碰到圓筒內壁后不反彈，沿圓筒內壁繼續(xù)做圓周運動中的最小速度值為3.94m/s．