Question

8．一半徑為R的薄圓筒處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與筒的中心軸線平行，筒的橫截面如圖所示．圖中直徑MN的兩端分別開有小孔，筒可繞其中心軸線轉(zhuǎn)動，圓筒的轉(zhuǎn)動方向和角速度大小可以通過控制裝置改變．一不計(jì)重力的負(fù)電粒子從小孔M沿著MN方向射入磁場，當(dāng)筒以大小為ω₀的角速度轉(zhuǎn)過90°時(shí)，該粒子恰好從某一小孔飛出圓筒．
（1）若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，求該粒子的荷質(zhì)比和速率分別是多大？
（2）若粒子速率不變，入射方向在該截面內(nèi)且與MN方向成30°角，則要讓粒子與圓筒無碰撞地離開圓筒，圓筒角速度應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)筒以大小為ω₀的角速度轉(zhuǎn)過90°時(shí)，該粒子恰好從某一小孔飛出圓筒，這說明粒子恰好在磁場中偏轉(zhuǎn)90°，則粒子的軌道半徑為R，由洛侖茲力提供向心力可以求出粒子的比荷和速率．
（2）當(dāng)入射方向逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，相應(yīng)的軌跡也將逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，半徑不變，畫出軌跡．由幾何關(guān)系，找到粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度，求出時(shí)間t．但要注意的是在時(shí)間t內(nèi)圓筒轉(zhuǎn)過的角度就有多解的問題，分兩種情況進(jìn)行討論：從M點(diǎn)穿出和從N點(diǎn)穿出的情況，列出時(shí)間相等的式子，可以求出圓筒的角速度．

解答 解：（1）若粒子沿MN方向入射，當(dāng)筒轉(zhuǎn)過90°時(shí)，粒子從M孔（筒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動）或N孔（筒順時(shí)針轉(zhuǎn)動）
  射出，如圖，由軌跡1可知半徑：r=R
  由 $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，粒子運(yùn)動周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
  筒轉(zhuǎn)過90°的時(shí)間：$t=\frac{\frac{π}{2}}{{ω}_{0}}=\frac{π}{2{ω}_{0}}$，又 $t=\frac{T}{4}=\frac{πm}{2qB}$
     聯(lián)立以上各式得：荷質(zhì)比$\frac{q}{m}=\frac{{ω}_{0}}{B}$，
      粒子速率：v=ω₀R
（2）若粒子與MN方向成30°入射，速率不變半徑仍為R，作粒子軌跡2如圖軌跡2圓心
  為O’，則四邊形MO’PO為菱形，可得$∠MO′P=∠MOP=\frac{2π}{3}$，所以$∠NOP=\frac{π}{3}$
  則粒子偏轉(zhuǎn)的時(shí)間：$t=\frac{\frac{2π}{3}}{2π}T=\frac{T}{3}$；又$T=\frac{2π}{{ω}_{0}}$；
      得：$t=\frac{2π}{3{ω}_{0}}$
  由于轉(zhuǎn)動方向與射出孔不確定，討論如下：
ⅰ．當(dāng)圓筒順時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)，設(shè)筒轉(zhuǎn)動的角速度變?yōu)棣?SUB>1，
  若從N點(diǎn)離開，則筒轉(zhuǎn)動時(shí)間滿足$t=\frac{\frac{π}{3}+2kπ}{{ω}_{1}}$，得：${ω}_{1}=\frac{（6k+1）}{2}{ω}_{0}$其中k=0，1，2，3…
  若從M點(diǎn)離開，則筒轉(zhuǎn)動時(shí)間滿足$t=\frac{\frac{π}{3}+（2k+1）π}{{ω}_{1}}$，得：${ω}_{1}=\frac{（6k+4）}{2}{ω}_{0}$其中k=0，1，2，3…；
    綜上可得${ω}_{1}=\frac{（3n+1）}{2}{ω}_{0}$其中n=0，1，2，3…
ⅱ．當(dāng)圓筒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動時(shí)，設(shè)筒轉(zhuǎn)動的角速度變?yōu)棣?SUB>2，
  若從M點(diǎn)離開，則筒轉(zhuǎn)動時(shí)間滿足$t=\frac{\frac{2π}{3}+2kπ}{{ω}_{2}}$，得：${ω}_{2}=\frac{（3•2k+2）}{2}{ω}_{0}$  其中k=0，1，2，3…
  若從N點(diǎn)離開，則筒轉(zhuǎn)動時(shí)間滿足$t=\frac{\frac{2π}{3}+（2k+1）π}{{ω}_{2}}$，得：${ω}_{2}=\frac{[3（2k+1）+2]}{{ω}_{0}}$其中k=0，1，2，3…
     綜上可得${ω}_{2}=\frac{3n+2}{2}{ω}_{0}$其中n=0，1，2，3…
  綜上所述，圓筒角速度大小應(yīng)為${ω}_{1}=\frac{3n+1}{2}{ω}_{0}$   或者${ω}_{2}=\frac{3n+2}{2}{ω}_{0}$其中n=0，1，2，3…
答：（1）若粒子在筒內(nèi)未與筒壁發(fā)生碰撞，該粒子的荷質(zhì)比為$\frac{{ω}_{0}}{B}$，速率分別是ω₀R．
（2）若粒子速率不變，入射方向在該截面內(nèi)且與MN方向成30°角，則要讓粒子與圓筒無碰撞地離開圓筒，圓筒角速度應(yīng)為${ω}_{1}=\frac{3n+1}{2}{ω}_{0}$  （順時(shí)針轉(zhuǎn)動）或${ω}_{2}=\frac{3n+2}{2}{ω}_{0}$  （逆時(shí)針轉(zhuǎn)動）  其中n=0，1，2，3…．

點(diǎn)評 本題的難點(diǎn)在于第二問的多解，基本等量關(guān)系是時(shí)間相等，但要注意的是從從M點(diǎn)射入的、穿出點(diǎn)可能是N點(diǎn)也可能是M點(diǎn)哪里穿出，所以分兩種情況進(jìn)行分析；還要注意的一點(diǎn)是多解問題，可能是轉(zhuǎn)過k圈后再從M或N點(diǎn)穿出，這也必須考慮到．