Question

如圖，A、B間距離為L₀的水平傳送帶和一傾角為θ的斜面在B處相接，動摩擦因數(shù)都為μ，μ＜tanθ，傳送帶以足夠大的速度順時針運動，在其左端的A點無初度的放上一物體．（物體在傳送帶與斜面相接處運動時無機械能損失）求：

（1）物休在斜面上能上滑的最大高度？
（2）第一次返回傳送帶上距B的最大距離？
（3）物體運動的總路程是多少？

Answer 1

（1）物體在傳送帶上獲得的加速度為μmg=ma
a=μg
到達B點時獲得的速度為2aL0

=v

2B

v_B=

2aL0

=

2μgL0

物體在斜面上上升時的加速度為-mgsinθ-μmgcosθ=ma_上
a_上=-gsinθ-μgcosθ
上滑的最大高度為
2a_上

h

sinθ

=0-

v

2B

代入數(shù)據(jù)解得h=

μL0sinθ

sinθ+μcosθ

（2）在下滑過程中加速度為mgsinθ-μmgcosθ=ma_下
a_下=gsinθ-μgcosθ
到達B點時的速度為
2a_下

h

sinθ

=v

′2B

解得v′_B=

2μgL0(sinθ-μcosθ) sinθ+μcosθ

距B點的最大距離為
-2ax=0-

v

′2B

代入數(shù)據(jù)解得x=

L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

；
（3）第一次在斜面上上升的位移為
L0=

h

sinθ

=

μL0

sinθ+μcosθ

第二次到達B點時的速度為2ax

=v

′2B

上升的位移為
2a_上L=0-

v

′2B

L=

L0(sinθ-μcosθ)

(sinθ+μcosθ)2

下滑到B點具有的速度為2a_下

L=v

″2B

v

″B

=

2μgL0(sinθ-μcosθ)2 (sinθ+μcosθ)2

在水平傳送帶上向左通過的位移為
-2ax′=0-

v

″2B

x′=

L0(sinθ-μcosθ)2

(sinθ+μcosθ)2

依此類推
在水平傳送帶上的路程為
X=L0+

2L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)
在斜面上的路程為
X′=

μL0

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)
總路程為X_總=X+X′=L0+

2L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)+

μL0

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)
答：（1）物休在斜面上能上滑的最大高度是

μL0cosθ

sinθ+μcosθ

（2）第一次返回傳送帶上距B的最大距離為

L0(sinθ-cosθ)

sinθ+μcosθ

（3）物體運動的總路程是L0+

2L0(sinθ-μcosθ)

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)+

μL0

sinθ+μcosθ

(

1-( sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ )n

1- sinθ-μcosθ sinθ+μcosθ

)