Question

（20分）如圖所示，在坐標系xOy所在平面內有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標O₁（a , 0），圓內分布有垂直xOy平面的勻強磁場。在坐標原點O處有一個放射源，放射源開口的張角為90°，x軸為它的角平分線。帶電粒子可以從放射源開口處在紙面內朝各個方向射出，其速率v、質量m、電荷量+q均相同。其中沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點的正上方的P點射出。不計帶電粒子的重力，且不計帶電粒子間的相互作用。
（1）求圓形區(qū)域內磁感應強度的大小和方向；
（2）a．判斷沿什么方向射入磁場的帶電粒子運動的時間最長，并求最長時間；
b．若在y≥a的區(qū)域內加一沿y軸負方向的勻強電場，放射源射出的所有帶電粒子運動過程中將在某一點會聚，若在該點放一回收器可將放射源射出的帶電粒子全部收回，分析并說明回收器所放的位置。

Answer 1

（1）設圓形磁場區(qū)域內的磁感應強度為B，帶電粒子在磁場中所受的洛倫茲力提供向心力：

其中R=a
則：
由左手定則判斷磁場方向垂直于xOy平面向里 （6分）

（2）沿與x軸45°向下射出的帶電粒子在磁場中運動的時間最長，軌跡如圖，根據幾何關系粒子離開磁場時速度方向沿y軸正方向，∠OO₃Q=135º。
設該帶電粒子在磁場中運動的時間為t，根據圓周運動周期公式得：
所以：                （8分）

（3）設某帶電粒子從放射源射出，速度方向與x軸的夾角為α，做速度v的垂線，截取OO₄=a，以O₄為圓心a為半徑做圓交磁場邊界于M點。由于圓形磁場的半徑與帶電粒子在磁場中運動的半徑均為a，故OO₁MO₄構成一個菱形，所以O₄M與x軸平行，因此從放射源中射出的所有帶電粒子均沿y軸正方向射出。帶電粒子在勻強電場中做勻減速直線運動，返回磁場時的速度與離開磁場時的速度大小相等方向相反，再進入磁場做圓周運動，圓心為O₅，OO₄O₅N構成一平行四邊形，所以粒子在磁場中兩次轉過的圓心角之和為180°，第二次離開磁場時都經過N點。故收集器應放在N點，N點坐標為（2a，0）。  （6分）

略