(2012?豐臺(tái)區(qū)一模)如圖所示,在豎直平面內(nèi)放置一長為L的薄壁玻璃管,在玻璃管的a端放置一個(gè)直徑比玻璃管直徑略小的小球,小球帶電荷量為-q、質(zhì)量為m.玻璃管右邊的空間存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)與勻強(qiáng)磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng).勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B;勻強(qiáng)電場(chǎng)方向豎直向下 電場(chǎng)強(qiáng)度大小為
mgq
.電磁場(chǎng)的左邊界與玻璃管平行,右邊界足夠遠(yuǎn).玻璃管帶著小球以水平速度v0垂直于左邊界向右運(yùn)動(dòng),由于水平外力F的作用,玻璃管進(jìn)入磁場(chǎng)后速度保持不變,經(jīng)一段時(shí)間后小球從玻璃管b端滑出并能在豎直平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng),最后從左邊界飛離電磁場(chǎng). 運(yùn)動(dòng)過程中小球的電荷量保持不變,不計(jì)一切阻力.求:
(1)小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大。
(2)從玻璃管進(jìn)入磁場(chǎng)至小球從b端滑出的過程中,外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系.
(3)通過計(jì)算畫出小球離開玻璃管后的運(yùn)動(dòng)軌跡.
分析:(1)分析小球在管中受力情況,由牛頓第二定律求出加速度.運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法,研究小球在豎直方向的運(yùn)動(dòng),由速度位移關(guān)系式求出小球從玻璃管b端滑出時(shí)豎直方向的分速度大小,再與水平方向速度合成求解小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大。
(2)玻璃管向右勻速運(yùn)動(dòng),根據(jù)平衡條件求解外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系.
(3)小球進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力提供向心力,由牛頓第二定律求出半徑,根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)研究小球的偏向角,再畫出軌跡.
解答:解:(1)由題意可知:E=
mg
q
,則有qE=mg,電場(chǎng)力與重力平衡,小球在管子中運(yùn)動(dòng)的加速度為:
a=
Fy
m
=
Bv0q
m

設(shè)小球從玻璃管b端滑出時(shí)豎直方向的分速度大小為vy,則:
v
2
y
=2aL

所以小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大小為:
v=
v
2
0
+
v
2
y
=
v
2
0
+
2Bv0q
m
L

(2)玻璃管向右勻速運(yùn)動(dòng),則有
   F=Fx=Bvyq
又:vy=at=
Bv0q
m
t

則外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系:F=
B2v0q2
m
t

(3)設(shè)小球在管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,軌跡如圖1所示.
t時(shí)間內(nèi)玻璃管運(yùn)動(dòng)的距離為:x=v0t
根據(jù)牛頓第二定律得:qvB=m
v2
R

得:R=
mv
qB

由幾何關(guān)系有:sinα=
x-x1
R

              
x1
R
=
vy
v

得:x1=
vy
v
R
=
Bv0qt
mv
?
mv
qB
=v0t=x
可得:sinα=0,α=0
即小球飛離磁場(chǎng)時(shí)速度方向垂直磁場(chǎng)左邊界向左,則小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示.
答:
(1)小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大小為
v
2
0
+
2Bv0q
m
L

(2)從玻璃管進(jìn)入磁場(chǎng)至小球從b端滑出的過程z中,外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系為F=
B2v0q2
m
t

(3)畫出小球離開玻璃管后的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示.
點(diǎn)評(píng):本題小球在重力、電場(chǎng)力、洛倫茲力作用下的運(yùn)動(dòng),采用非常規(guī)的運(yùn)動(dòng)分解法.要注意洛倫茲力大小F=qvB,v應(yīng)是垂直于F方向的分速度.第(3)問不能只定性畫出軌跡如圖2所示,要通過定量計(jì)算精確研究軌跡如圖2所示.
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(2)小球和物塊擺動(dòng)過程中,細(xì)繩拉力的最大值;
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