Question

如圖所示，P為位于某一高度處的質(zhì)量為m的物塊，B為位于水平地面上的質(zhì)量為M的特殊長平板，

m

M

=

1

2

，平板與地面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.1．在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用區(qū)域”，如圖中劃虛線的部分，當(dāng)物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)時，B便有豎直向上的恒力f作用于P，f=11mg，f對P的作用使P剛好不與B的上表面接觸；在水平方向P、B之間沒有相互作用力．已知物塊P開始自由落下的時刻，板B向右的速度為v₀=10.0m/s．P從開始下落到剛到達(dá)相互作用區(qū)所經(jīng)歷的時間為T₀=1s． 設(shè)B板足夠長，保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區(qū)，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）相互作用區(qū)域的厚度．
（2）P第一次回到初始位置經(jīng)歷的時間．
（3）當(dāng)B開始停止運(yùn)動那一時刻，P的位置．

Answer 1

分析：（1）物塊P在進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之前做自由落體運(yùn)動，加速度為g，進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之后做勻減速直線運(yùn)動，由自由落體運(yùn)動的規(guī)律求出P剛到達(dá)板的上表面時的速度，再由動能定理研究勻減速運(yùn)動過程，即可求得相互作用區(qū)域的厚度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出加速度．根據(jù)兩個過程速度的關(guān)系求解P從進(jìn)入“相互作用區(qū)域”到離木板最近過程所經(jīng)歷的時間，根據(jù)對稱性求出物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時間．
（3）對于B的運(yùn)動過程分三段；
①在P從開始下落到進(jìn)入“相互作用區(qū)域”的時間t₀內(nèi)，B物體做勻減速直線運(yùn)動，由速度公式求出末速度．
②在P進(jìn)入到離開“相互作用區(qū)域”的過程，B物體做勻減速直線運(yùn)動，求出末速度．
③在P從離開“相互作用區(qū)域”到回到初位置的t₀時間內(nèi)，B做勻減速直線運(yùn)動，再求出末速度．
根據(jù)三個過程的初速度、末速度和時間，由平均速度和時間求出總位移．

解答：解：（1）物塊P自由下落時，剛到達(dá)板的上表面時的速度v=gT₀=10m/s．
P進(jìn)入相互作用區(qū)域的過程，根據(jù)動能定理得：mgH-fH=0-

1

2

mv2
代入解得，H=0.5m．
（2））對于P，取向下方向?yàn)檎�方向，對于B取水平向右為正方向．
物塊P在進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之前，P、B的加速度分別是a_P=g=10m/s²，a_B=-μg=-1m/s²．
物塊P在進(jìn)入“相互作用區(qū)域”之后，P、B的加速度分別是a_P′=

mg-f

m

=-100m/s²，a_B′=-

μ(Mg+f)

M

=-6.5m/s²．
設(shè)P從進(jìn)入“相互作用區(qū)域”到離木板最近過程所經(jīng)歷的時間為t，則
  a_PT₀+a_P′t=0
解得t=0.1s
根據(jù)對稱性得到物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經(jīng)歷的時間T=2（t₀+t）=2.2s
（3）設(shè)板速度為零時，P一共回到出發(fā)點(diǎn)n次．由以上分析得：
v₀+2na_BT₀+2na_B′t=0
解得，n=3.03次，
三次后，板的速度為v=v₀+2×3a_BT₀+2×3a_B′t=0.1m/s
則此時P又下落的時間為t′=

v

aB

=0.1s
h=

1

2

g(

T

2 0

-t′2)=4.95m
即當(dāng)B開始停止運(yùn)動那一時刻，P距地面4.95 m．
答：
（1）相互作用區(qū)域的厚度為0.5m
（2）P第一次回到初始位置經(jīng)歷的時間為2.2s．
（3）當(dāng)B開始停止運(yùn)動那一時刻，P距地面4.95 m．

點(diǎn)評：本題考查運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式分析和解決復(fù)雜動力學(xué)問題的能力，關(guān)鍵是分析受力情況和運(yùn)動情況．