Question

4．均勻半圓形金屬拱架ABC的圓心在O點(diǎn)，質(zhì)量M=1000kg，A端用鉸鏈連接，B端放在滾珠上，有一質(zhì)量m=500kg的物體從最高點(diǎn)C無摩擦地滑下，如圖所示，求當(dāng)物體滑到D點(diǎn)時(shí)（∠COD=30°），A、B兩支點(diǎn)對(duì)拱架的作用力．

Answer 1

分析 對(duì)CD過程根據(jù)機(jī)械能守恒定律進(jìn)行分析求解D點(diǎn)的速度，再根據(jù)向心力公式求出D點(diǎn)受到的作用力，再對(duì)支架分析，以A為支點(diǎn)求出B點(diǎn)的作用力；再對(duì)A分析，分別對(duì)水平和豎直兩個(gè)方向列出平衡方程求解．

解答 解：對(duì)CD過程由機(jī)械能守恒定律可得：
mgR（1-cos30°）=$\frac{1}{2}$mv²
根據(jù)向心力公式可得：
mgcos30°-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得N點(diǎn)的支持力為：F=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg
由牛頓第三定律可得D點(diǎn)拱架受到的力為：F'=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg；
對(duì)拱架分析，以A為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件可得：
N_B•2R=MgR+F′Rcos30°
解得：N_B=6295N；方向豎直向上；
對(duì)拱架以B為轉(zhuǎn)軸，則應(yīng)有：
N_Ax=F′_x=F′sin30°
解得：N_Ax=1495N；
N_Ay=Mg+F′_y-F'
N_Ay=6295N
則根據(jù)力的合成可知：
N_A=$\sqrt{{N}_{Ax}+{N}_{Ay}}$
聯(lián)立解得：N_A=6470N；
tanθ=$\frac{{N}_{Ax}}{{N}_{Ay}}$=$\frac{1495}{6295}$=0.24；
答：A支點(diǎn)對(duì)拱架的作用力分別為6470N，方向與水平方向夾角的正切值為0.24； B支點(diǎn)的作用力為6295N，方向豎直向上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查力矩平衡以及共點(diǎn)力的平衡問題的分析，要注意明確在求B點(diǎn)時(shí)應(yīng)用力矩平衡，而由于A點(diǎn)為鉸鏈，故不能利用力矩平衡，只能根據(jù)水平和豎直兩個(gè)廣告上的平衡條件列式求解．