Question

8．滑雪運動是把滑雪板裝在靴底上在雪地上進行速度、跳躍和滑降的競賽運動．滑雪運動中當滑雪板相對雪地速度較大時，會把雪內的空氣逼出來，在滑雪板與雪地間形成一個暫時的“氣墊”，從而大大減小雪地對滑雪板的摩擦．然而當滑雪板相對雪地速度較小時，與雪地接觸時間超過某一值就會陷下去，使得它們間的摩擦力增大．假設滑雪者的速度超過8m/s時，滑雪板與雪地間的動摩擦因數就會由μ₁=0.5變?yōu)棣?SUB>2=0.25．一滑雪者從傾角θ=37°的坡頂A處由靜止開始自由下滑，滑至坡底B（B處為一光滑小圓�。┖笥只�上一段水平地面，最后停在C處，如圖所示．不計空氣阻力，已知坡長L=24m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者從靜止開始到動摩擦因數發(fā)生變化所經歷的時間；
（2）滑雪者到達B處時的速度大��；
（3）若滑雪板與水平地面間的動摩擦因數恒為μ₃=0.4，求滑雪者在水平地面上運動的最大距離．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出滑雪者在斜坡上從靜止開始加速至速度8m/s期間的加速度，再根據速度時間公式求出運動的時間；
（2）根據牛頓第二定律求出速度大于8m/s時的加速度，從而得出加速度變化后的位移，根據勻變速直線運動的速度位移公式求出滑雪者到達B處的速度；
（3）由牛頓第二定律與運動學公式可以求出運動距離．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁，
解得：a₁=gsinθ-μ₁gcosθ=10m/s²×0.6-0.5×10m/s²×0.8=2m/s²，
由v=a₁t得，滑行時間：
t=$\frac{v}{{a}_{1}}$=$\frac{8m/s}{2m/{s}^{2}}$=4s，
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²=$\frac{1}{2}$×2m/s²×（4s）²=16m＜24m；
（2）由靜止到動摩擦因素變化的位移：
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²=$\frac{1}{2}$×2m/s²×（4s）²=16m＜24m，
動摩擦因數變化后，由牛頓第二定律得：mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₂，
解得：a₂=gsinθ-μ₂gcosθ=10m/s²×0.6-0.25×10m/s²×0.8=4m/s²，
x₂=L-x₁=24m-16m=8m，
由${v}_{B}^{2}$-v²=2a₂x²得，達到B處速度：
v_B=$\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{2}{x}_{2}}$═$\sqrt{（8m/s）^{2}+2×4m/{s}^{2}×8m}$=8$\sqrt{2}$m/s；
（3）在水平雪地上做勻減速直線運動，
由牛頓第二定律得：μ₃mg=ma₃，
做勻減速運動的加速度大�。篴₃=μ₃g=0.4×10m/s²=4m/s²，
根據速度位移關系可知，滑雪者通過的位移：
x₃=$\frac{0-{v}_{B}^{2}}{-2{a}_{3}}$=$\frac{0-（8\sqrt{2}{m/s）}^{2}}{-2×4m/{s}^{2}}$=16m，
答：（1）滑雪者從靜止開始到動摩擦因數發(fā)生變化所經歷的時間為4s；
（2）滑雪者到達B處時的速度大小為8$\sqrt{2}$m/s；
（3）滑雪者在水平雪地上運動的最大距為16m．

點評 本題綜合運用了牛頓第二定律、動能定理等規(guī)律，關鍵理清滑雪者的運動過程，正確地受力分析，運用牛頓定律或動能定理解題．