Question

如圖所示，在x軸上方平面內(nèi)存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一離子源，可以在平行于紙面內(nèi)向x軸上方（包括x軸）沿各個(gè)方向發(fā)射速率在0到υ_m之間、質(zhì)量為m、電量為q的負(fù)離子．不計(jì)離子的重力和離子之間的相互作用力，試分析：
（1）若在t=0時(shí)刻發(fā)射的各種速率的離子僅沿+x方向，寫出經(jīng)過t=

πn

2qB

時(shí)這些離子所在位置的坐標(biāo)y與x的關(guān)系式和范圍．
（2）若在x軸的上方距離x軸d=

8mmv

5qB

處放一足夠長的屏，屏與x軸平行，離子以最大速度υ_m向x軸上方各個(gè)方向發(fā)射，求這些離子打在屏上的范圍．
（3）若從t=0時(shí)刻開始向x軸上方各個(gè)方向發(fā)射各種速率的離子，求從t=0到t=

πn

2qB

時(shí)間內(nèi)所有離子可能到達(dá)過的位置所組成區(qū)域的最大面積．

Answer 1

分析：（1）離子進(jìn)入磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出半徑，由t=

πn

2qB

，求出離子轉(zhuǎn)過的角度，根據(jù)幾何知識(shí)求出些離子打在屏上的范圍．
（2）運(yùn)用幾何知識(shí)作出從t=0到t=

πn

2qB

時(shí)間內(nèi)所有離子可能到達(dá)過的位置，再求出組成區(qū)域的最大面積．

解答：解：（1）離子進(jìn)入磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得：
　　qvB=m

v2

R

解得最大半徑R_m=

mv

qB

離子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期為T，則
T=

2πR

v

=

2πm

qB

因?yàn)?span id="eiuikws" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">t=

1

4

T，所以t時(shí)刻這些離子剛好轉(zhuǎn)過90°角，設(shè)某一離子在此時(shí)刻的坐標(biāo)為（x，y），則有
y=x，且0≤x≤

mv

qB

（2）離子以最大速度υ_m向x軸正方向發(fā)射時(shí)，將到達(dá)屏的最右端．  
L₁=

R 2 m -(d-Rm)2

=

4mv

5qB

離子與屏剛好相切時(shí)，將到達(dá)屏的最左端．
L2=

R 2 m -(d-Rm)2

=

4mv

5qB

離子打在屏上的范圍為-

4mv

5qB

≤x≤

4mv

5qB

（3）將第（1）問中圖中的OA段從沿-x軸方向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135°，在y軸上找一點(diǎn)C，以R_m為半徑作圓弧，相交于O，則兩圓弧及x軸所圍成的面積即為所求的解，畫出示意圖如圖．
由幾何關(guān)系可求得此面積為
S=

3

8

π?2

R

2 m

+

1

4

π

R

2 m

-

1

2

R2=(π-

1

2

)

R

2 m

則：S=(π-

1

2

)(

mv

qB

)2
答：
（1）這些離子所在位置的坐標(biāo)y與x的關(guān)系式y(tǒng)=x，且0≤x≤

mv

qB

．
（2）這些離子打在屏上的范圍為-

4mv

5qB

≤x≤

4mv

5qB

．
（3）所有離子可能到達(dá)過的位置所組成區(qū)域的最大面積S=(π-

1

2

)(

mv

qB

)2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查運(yùn)用幾何知識(shí)研究帶電粒子在磁場中圓周運(yùn)動(dòng)問題的能力，要加強(qiáng)訓(xùn)練，培養(yǎng)運(yùn)用幾何知識(shí)畫軌跡的基本功．