Question

【題目】如圖所示,在xOy平面直角坐標(biāo)系內(nèi)y軸與垂直x軸的MN邊界之間,以x軸為分界線,分別在第Ⅰ、Ⅳ象限有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。第Ⅰ象限內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0.第Ⅱ象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E. 質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從第Ⅱ象限內(nèi)某點(diǎn)由靜止釋放,從y軸上的A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng),經(jīng)x軸上的B點(diǎn)第一次進(jìn)入x軸下方的磁場(chǎng)。若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,a),B點(diǎn)的坐標(biāo)是(3a,0)，

不考慮粒子重力。

(1)求粒子釋放位置與y軸的距離；

(2)若粒子經(jīng)x軸上方的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后不經(jīng)過(guò)y軸仍能回到x軸上方的磁場(chǎng)，求x軸下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小應(yīng)滿足的條件；

(3)若x軸下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3B0，且粒子最終垂直于MN邊界出射，求MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（4na，0）（其中n=1，2，3…）

【解析】

（1）設(shè)粒子釋放位置與y軸的距離為d，粒子在第一象限磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖，如圖所示，

在電場(chǎng)中做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理：①

可得：

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：②

根據(jù)幾何關(guān)系：(r-a)2+(3a)2=r2③

可得：r=5a

聯(lián)立①②③式可得：

（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸之間的夾角為θ，則粒子在第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度也為θ，

根據(jù)幾何關(guān)系：，可得：θ=53°

要使粒子經(jīng)x軸上方的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后不經(jīng)過(guò)y軸仍能回到x軸上方的磁場(chǎng)，臨界情況如圖所示，

要使粒子經(jīng)x軸上方的磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后不經(jīng)過(guò)y軸仍能回到x軸上方的磁場(chǎng)

需滿足：3a≥R（1+cos37°） ④

根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：⑤

聯(lián)立②③④⑤式可得x軸下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小滿足：

（3）設(shè)當(dāng)x軸下方區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為3B0時(shí)粒子半徑為R′，

根據(jù)洛倫茲力提供向心力：⑥

聯(lián)立②⑥式可得：

畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示，

設(shè)粒子的速度方向再次與射入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向一致時(shí)的位置為A1，則A與A1的連線與x軸平行，AA1=6a-2 R′sin530

根據(jù)幾何關(guān)系有：AA1=4a

所以粒子最終垂直MN邊界飛出，邊界MN與y軸間距為

L=nAA1=4 na（其中n=1，2，3…）

即：MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（4na，0）（其中n=1，2，3…）