Question

6．質(zhì)量均為m、電荷量均為q的粒子分別沿v₁和v₂的方向從磁場(chǎng)水平邊界MN的O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．已知負(fù)粒子的初速度v₁=v₀，與邊界夾角α=30°，正粒子的初速度v₂=$\sqrt{3}$v₀，與邊界夾角β=60°．磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)榇鸥袘?yīng)強(qiáng)度大小B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．兩個(gè)粒子同時(shí)到達(dá)磁場(chǎng)邊界的A、B兩點(diǎn)．不計(jì)粒子之間的相互作用和重力．

（1）求兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)A、B之間的距離d；
（2）求兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔△t；
（3）若MN下方有平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且兩粒子在電場(chǎng)中相遇，其中的粒子1做直線運(yùn)動(dòng)．求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）作出兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由牛頓第二定律求出半徑，結(jié)合幾何知識(shí)求出d；
（2）根據(jù)公式t=$\frac{θ}{2π}$T求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）由題意，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向應(yīng)與粒子1穿出磁場(chǎng)的方向平行，分為與粒子速度方向相同和相反兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)：

根據(jù)牛頓第二定律：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子1圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角θ₁=$\frac{5π}{3}$，$\overline{OA}$=2r₁sinθ₁             
粒子2圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角θ₂=$\frac{2π}{3}$，$\overline{OB}$=2r₂sinθ₂ 
故d=$\overline{OA}$+$\overline{OB}$=2r₁sin30°+2r₂sin60°=$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$
（2）粒子圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πr}{v}$ 
粒子1在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T
粒子2在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T
所以有：△t=t₁-t₂=$\frac{πm}{3qB}$                                   
（3）由題意，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向應(yīng)與粒子1穿出磁場(chǎng)的方向平行．
a．若電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與MN成30°角斜向右上，則粒子1做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，粒子2做類平拋運(yùn)動(dòng)．
Eq=ma                          
$\overline{AB}$cos30°=v₁t+$\frac{1}{2}$at²+$\frac{1}{2}$at²  
$\overline{AB}$sin30°=v₂t                 
解得：E=$\sqrt{3}$Bv₀             
b．若電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與MN成30°角斜向左下，則粒子1做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，粒子2做類平拋運(yùn)動(dòng)．
Eq=ma
$\overline{AB}$cos30°=v₁t-$\frac{1}{2}$at²-$\frac{1}{2}$at² 
$\overline{AB}$sin30°=v₂t
解得：E=-$\sqrt{3}$Bv₀，假設(shè)不成立．                         
綜上所述，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向與MN成30°角斜向右上．  
答：（1）兩粒子在磁場(chǎng)邊界上的穿出點(diǎn)A、B之間的距離是$\frac{4m{v}_{0}}{Bq}$；
（2）兩粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔是$\frac{πm}{3qB}$；
（3）若MN下方有平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且兩粒子在電場(chǎng)中相遇，其中的粒子1做直線運(yùn)動(dòng)．電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小E=$\sqrt{3}$Bv₀，方向與MN成30°角斜向右上．

點(diǎn)評(píng) 本題是常見的帶電粒子在磁場(chǎng)中和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，畫出軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)是處理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的基本方法．