Question

【題目】如圖所示，在xoy平面內(nèi)，有一以坐標原點O為圓心、R為半徑的圓形區(qū)圓周與坐標軸分別交于a、b、c、d點。x軸下方圓弧bd與b′d′是兩個半圓形同心圓弧，bd和b′d′之間的區(qū)域內(nèi)分布著輻射狀的電場，電場方向指向原點O，其間的電勢差為U；x軸上方圓周外區(qū)域，存在著上邊界為y=2R的垂直紙面向里的足夠大勻強磁場，圓周內(nèi)無磁場。圓弧b′d′上均勻分布著質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們被輻射狀的電場由靜止加速后通過坐標原點O，并進入磁場。不計粒子的重力以及粒子之間的相互作用，不考慮粒子從磁場返回圓形區(qū)域邊界后的運動。

(1)粒子經(jīng)電場加速后，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)運動的時間為多大?

(2)若從a點進入磁場的粒子不能從磁場上邊界射出磁場，則磁感應(yīng)強度應(yīng)滿足什么條件?

(3要使粒子能夠垂直于磁場上邊界射出磁場，求磁場的磁感應(yīng)強度的最大值B0；并求出此時從磁場上邊界垂直射出的粒子在磁場中運動的時間；

(4)當(dāng)磁場中的磁感應(yīng)強度大小為第(3)問中B0的倍時，求能從磁場上邊界射出粒子的邊界寬度。

Answer 1

【答案】(1) ；

(2) ；

(3)，；

(4).

【解析】

⑴設(shè)粒子被電場加速后速度為v，由動能定理得：

①

粒子經(jīng)電場加速后在圓形區(qū)域內(nèi)運動的時間：②

得：③

⑵粒子在磁場中做勻速圓周運動，設(shè)軌道半徑為r0。從a點進入磁場的粒子不能從磁場上邊界射出磁場應(yīng)滿足：④

由⑤

得：⑥

⑶垂直磁場上邊界射出的粒子的圓心O必在磁場上邊界上，設(shè)該粒子做勻速圓周運動的軌道半徑為r，滿足磁感應(yīng)強度有最大值，即r有最小值。又因為

⑦

當(dāng)r有最小值時，OO取最小值，OO最小值為O點到磁場上邊界的距離2R

故：⑧

由以上各式可得：⑨

設(shè)此時粒子進入磁場時速度方向與y軸正方向的夾角為θ

則故

由于帶電粒子在磁場中的運動周期：

⑩

此時垂直于磁場上邊界射出磁場的粒子在磁場中運動的時間：

⑷當(dāng)B=時，帶電粒子在磁場中的運動半徑

由幾何知識可知，當(dāng)粒子從d點沿x軸正方向進入磁場，粒子從磁場上邊界射出點，為粒子能夠到達的上邊界的最右端。設(shè)粒子能夠到達的上邊界的最右端距y軸的距離為x1

得：

當(dāng)粒子與磁場上邊界相切時，切點為粒子能夠到達的上邊界的最左端。設(shè)粒子能夠到達的上邊界的最左端距y軸的距離為x2

得：

粒子能從磁場上邊界射出粒子的邊界寬度：