Question

16．如圖所示，在光滑的水平面上固定有左、右兩豎直擋板，擋板間距離足夠長，有一質(zhì)量為M，長為L的長木板靠在左側(cè)擋板處，另有一質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），放置在長木板的左端，已知小物塊與長木板間的動摩擦因數(shù)為μ，且M＞m．現(xiàn)使小物塊和長木板以共同速度v₀向右運(yùn)動，設(shè)長木板與左、右擋板的碰撞中無機(jī)械能損失．試求：
（1）將要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，若小物塊仍未從長木板上落下，則它此時(shí)距長木板左端多遠(yuǎn)？
（2）為使小物塊不從長木板上落下，板長L應(yīng)滿足什么條件？
（3）若滿足（2）中條件，且M=2kg，m=1kg，v₀=9m/s，試計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)在剛發(fā)生第四次碰撞前損失的機(jī)械能．

Answer 1

分析 （1）選取正方向，運(yùn)用動量守恒來確定共同運(yùn)動的速度，根據(jù)能量守恒定律列出等式求解；
（2）m相對M向右滑動，以后M與左擋板碰撞，碰后m相對于M向左滑動，直到達(dá)到共同速度，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律列出等式求解；
（3）根據(jù)能量守恒定律得求出第四次碰撞前損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）第一次與右擋板碰后到達(dá)共同速度v₁的過程中，對m、M組成的系統(tǒng)，選定水平向左為正方向．由動量守恒可得：
（M-m）v₀=（M+m）v₁…①
由能量守恒可得：μmgL₁=$\frac{1}{2}$（M+m）v₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²…②
由①②解得：L₁=$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（2）上述過程中，m相對M向右滑動，且共同速度v₁向左．
以后，M與左擋板碰撞，碰后m相對M向左滑動，直到重新達(dá)到共同速度v₂，
以向右為正方向，由動量守恒動量得：（M-m）v₁=（M+m）v₂…③
由能量守恒可得：μmgL₂=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²…④
由③④解得：L₂=$\frac{2M{v}_{1}^{2}}{（M+m）μg}$，顯然L₂＜L₁，同理：L₃＜L₂，…
因此，只有第一次碰后m未從M上掉下，以后就不可能掉下，則長木板的長度L應(yīng)滿足：L≥$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（3）根據(jù)能量守恒可得，到剛發(fā)生第四次碰撞前，系統(tǒng)損失的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律得：
△E=μmg（L₁+L₂+L₃）=μmg×$\frac{2M}{（M+m）μg}$（v₀²+v₁²+v₂²）=$\frac{2Mm}{M+m}$（v₀²+v₁²+v₂²）…⑤
又v₁=$\frac{M-m}{M+m}$v₀…⑥
v₂=（$\frac{M-m}{M+m}$）²v₀ …⑦
解得：△E=$\frac{364}{3}$J≈121.3J；
答：（1）將要發(fā)生第二次碰撞時(shí)，若小物塊仍未從長木板上落下，則它此時(shí)距長木板左端距離為$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（2）為使小物塊不從長木板上落下，板長L應(yīng)滿足的條件是L≥$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{（M+m）μg}$；
（3）整個(gè)系統(tǒng)在剛發(fā)生第四次碰撞前損失的機(jī)械能是121.3J．

點(diǎn)評 本題考查動量守恒定律和能量守恒定律的應(yīng)用，并多次在不同過程中使用，讓同學(xué)們更能熟練的掌握規(guī)律．綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的能力要求較高，要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．