Question

8．《神奇的宇宙之旅》這本書從自然科學的角度，向廣大青少年展示一個全新的視野-宇宙的奧秘、海洋的神奇、環(huán)境的變化、生命的奇幻、物質(zhì)世界的多彩、微觀領(lǐng)域的裂變等，隨著科學技術(shù)的不斷發(fā)展，我們將來去宇宙旅行將不再是夢想，假設(shè)若干年后同學們登上某星球并做如下實驗，實驗裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量為m=0.2kg的小球，從軌道AB上高H處的某點靜止釋放，用力傳感器測出小球經(jīng)過C點時對軌道的壓力F，改變高度H的大小，可測出相應(yīng)的F大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，萬有引力常量G=6.67×10^-11N•m²/kg³，求：
（1）若該星球的半徑R=5000km，該星球的第一宇宙速度大��；
（2）若質(zhì)量為m的物質(zhì)距離該星球中心距離為r處的引力勢能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$，在該星球表面以多大的初速度豎直拋出一個物體，物體將不再落回星球表面．

Answer 1

分析 （1）球從A到C運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律和牛頓第二定律分別列式，然后結(jié)合F-H圖線求出圓軌道的半徑和星球表面的重力加速度．
（2）豎直拋出一個物體，物體將不再落回星球表面其動能要大于等于物體在星球表面處的引力勢能．

解答 解：（1）小球過C點時滿足F+mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{r}$
又根據(jù)mg（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv_C²      
聯(lián)立解得F=$\frac{2mg}{r}$H-5mg          
由題圖可知：H₁=0.5 m時F₁=0；H₂=1.0 m時F₂=5 N；
可解得g=5 m/s²  第一宇宙速度為v=$\sqrt{gR}$=$5\sqrt{2}×1{0}^{3}$=7.0×10³m/s
（2）物體將不再落回星球表面其動能為：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$≥$\frac{GMm}{r}$=$\frac{GMm}{R}$  ①
在該行星表面的物體受到的重力等于萬有引力：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$       ②
由①②式代入數(shù)據(jù)可得：v≥1×10⁴m/s
答：（1）第一宇宙速度為7.0×10³m/s
（2）星球表面以1×10⁴m/s的初速度豎直拋出一個物體，物體將不再落回星球表面

點評 本題是牛頓運動定律與機械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出壓力F與H的關(guān)系式，能讀取圖象的有效信息