Question

11．如圖甲所示，兩個水平和傾斜光滑直導(dǎo)軌都通過光滑圓弧對接而成，相互平行放置，兩導(dǎo)軌相距L=1m，傾斜導(dǎo)軌與水平面成θ=30°角，傾斜導(dǎo)軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強(qiáng)磁場區(qū)Ⅰ中，Ⅰ區(qū)中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁隨時間變化的規(guī)律如圖乙所示，垂直斜面向上為正值，圖中t₁，t₂未知．水平導(dǎo)軌足夠長，其左端接有理想靈敏電流計G（內(nèi)阻不計）和定值電阻R=3Ω，水平導(dǎo)軌處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場區(qū)Ⅱ中，Ⅱ區(qū)中的磁場恒定不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=1T，在t=0時刻，從斜軌上磁場Ⅰ區(qū)外某處垂直于導(dǎo)軌水平靜止釋放一金屬棒ab，棒的質(zhì)量m=0.1kg，棒的電阻r=2Ω，棒下滑時與導(dǎo)軌保持良好接觸，設(shè)棒通過光滑圓弧前后速度大小不變，導(dǎo)軌的電阻不計．若棒在斜面上向下滑動的整個過程中，靈敏電流計指針穩(wěn)定時顯示的電流大小相等，t₂時刻進(jìn)入水平軌道，立刻對棒施一平行于框架平面沿水平且與桿垂直的外力．（g取10m/s²）求：

（1）ab棒進(jìn)入磁場區(qū)Ⅰ時速度 v的大��；
（2）磁場區(qū)Ⅰ在沿斜軌方向上的寬度 d；
（3）棒從開始運(yùn)動到剛好進(jìn)入水平軌道這段時間內(nèi) ab棒上產(chǎn)生的熱量Q；
（4）若棒在t₂時刻進(jìn)入水平導(dǎo)軌后，電流計G的電流 I隨時間t變化的關(guān)系如圖丙所示（I₀未知），已知t₂到t₃的時間為0.5s，t₃到t₄的時間為1s，請在圖丁中作出t₂到t₄時間內(nèi)外力大小 F隨時間 t變化的函數(shù)圖象．（從上向下看逆時針方向為電流正方向）

Answer 1

分析 （1）題中電流表的示數(shù)保持不變，整個下滑過程中回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不變，可判斷出在t₁時刻棒剛好進(jìn)入磁場Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運(yùn)動，由平衡條件和安培力、歐姆定律、法拉第定律結(jié)合求解v；
（2）棒沒進(jìn)入磁場以前做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出下滑的距離，由于棒進(jìn)入磁場后產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不變，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；
（3）ab棒進(jìn)入磁場以前，由焦耳定律求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱．進(jìn)入磁場Ⅰ的過程中，棒的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由能量守恒求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱；
（4）根據(jù)圖線寫出I-t′方程式，由歐姆定律I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$，得到速度與時間的表達(dá)式，即可求出加速度，由牛頓第二定律得到外力F與時間t的關(guān)系式，作出圖象．

解答 解：（1）電流表的示數(shù)不變，說明在整個下滑過程中回路的電動勢是不變的，說明在B變化時和不變時感應(yīng)電動勢大小一樣，所以可以判斷在t₁時刻棒剛好進(jìn)入磁場區(qū)域且做勻速直線運(yùn)動．
由平衡條件有：mgsinθ-BIL=0
由歐姆定律有：$I=\frac{{E}_{1}}{R+r}$，E₁=BLv，
代入數(shù)值得：v=2.5m/s
（2）棒沒進(jìn)入磁場以前做勻加速直線運(yùn)動，加速度是：a=gsin30°=5m/s²，
棒剛磁場時的速度 v=at₁，
得：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{2.5}{5}s$=0.5s
下滑的距離是：s₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}×5×0．{5}^{2}m$=0.625m
在棒沒進(jìn)入磁場以前，由于B₁均勻變化，所以有：E₂=$\frac{△B}{△t}Ld$，
又 E₁=B₁Lv，E₁=E₂，
代入得 4×1×d=1×1×2.5，
解得：d=0.625m
（3）ab棒進(jìn)入磁場以前，棒上產(chǎn)生的熱量為：Q₁=I²Rt₁=0.5²×2×0.5J=0.25J
取ab棒在斜軌磁場中運(yùn)動為研究過程，有：mgdsinθ-Q₂=0
得：Q₂=0.3125J．
此時，棒上產(chǎn)生的熱量是：Q_2r=$\frac{r}{r+R}{Q}_{2}$=$\frac{2}{2+3}×0.3125J$=0.125J
則棒上產(chǎn)生的總熱量是：Q_r=Q₁+Q_2r=0.25J+0.125J=0.375 J
或：Q_r=I²R（t₁+t₂）=0.5²×2×（0.5+0.25）J=0.375J
（4）因為E=BLv，所以剛進(jìn)水平軌道時時的電動勢是：E=2.5V，I₀=$\frac{E}{R+r}=\frac{2.5}{3+2}A$=0.5A
取t₂時刻為零時刻，則根據(jù)圖線可以寫出I-t的方程式：I=0.5-tˊ，I=$\frac{BLv}{R+r}$，
則v=2.5-5 tˊ，所以a₁=5m/s²．
由牛頓第二定律可得：F+B₂IL=ma₁，F(xiàn)+I=1
F=tˊ，畫在坐標(biāo)系里．
由丙圖可以同理得出棒運(yùn)動的加速度大小是：a₂=2.5m/s²，
依據(jù)牛頓定律得：F-BIL=ma₂
取t₃時刻為零時刻，可以寫出t₃時刻后的I與時間的關(guān)系式，I=0.5 t，代入上面的式子可以得到F=0.25+0.5t，畫在坐標(biāo)系里．
答：（1）ab棒進(jìn)入磁場區(qū)I時速度V的大小是2.5m/s；
（2）磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d是0.625m；
（3）棒從開始運(yùn)動到剛好進(jìn)入水平軌道這段時間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量Q是0.375J；
（4）作出t₂到t₄時間內(nèi)外力大小F隨時間t變化的函數(shù)圖象如圖所示．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動情況，判斷其受力情況，運(yùn)用法拉第定律、歐姆定律、焦耳定律及力學(xué)中牛頓第二定律等等多個知識解答，綜合性很強(qiáng)，同時，考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力．