Question

根據(jù)玻爾理論，電子繞氫原子核運(yùn)動可以看作是僅在庫侖引力作用下的勻速圓周運(yùn)動，已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，電子在第1軌道運(yùn)動的半徑為r₁，靜電力常量為k。
（1）電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動時，可等效為環(huán)形電流，試計算電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動的周期及形成的等效電流的大��；
（2）氫原子在不同的能量狀態(tài)，對應(yīng)著電子在不同的軌道上繞核做勻速圓周運(yùn)動，電子做圓周運(yùn)動的軌道半徑滿足r_n=n²r₁，其中n為量子數(shù)，即軌道序號，r_n為電子處于第n軌道時的軌道半徑。電子在第n軌道運(yùn)動時氫原子的能量E_n為電子動能與“電子-原子核”這個系統(tǒng)電勢能的總和。理論證明，系統(tǒng)的電勢能E_p和電子繞氫原子核做圓周運(yùn)動的半徑r存在關(guān)系：E_p=-k（以無窮遠(yuǎn)為電勢能零點(diǎn)）。請根據(jù)以上條件完成下面的問題。
①試證明電子在第n軌道運(yùn)動時氫原子的能量E_n和電子在第1軌道運(yùn)動時氫原子的能量E₁滿足關(guān)系式
②假設(shè)氫原子甲核外做圓周運(yùn)動的電子從第2軌道躍遷到第1軌道的過程中所釋放的能量，恰好被量子數(shù)n=4的氫原子乙吸收并使其電離，即其核外在第4軌道做圓周運(yùn)動的電子脫離氫原子核的作用范圍。不考慮電離前后原子核的動能改變，試求氫原子乙電離后電子的動能。

Answer 1

（1）（2）①證明過程見解析②

試題分析：（1）設(shè)電子繞氫原子核在第1軌道上做圓周運(yùn)動的周期為，形成的等效電流大小為，根據(jù)牛頓第二定律有                   （2分）
則有                                     （1分）
又因為                                        （2分）
有                                      （1分）
（2）①設(shè)電子在第1軌道上運(yùn)動的速度大小為v₁，根據(jù)牛頓第二定律有
                                           （1分）             
電子在第1軌道運(yùn)動的動能                （1分）
電子在第1軌道運(yùn)動時氫原子的能量即動能和勢能之和     （2分）
同理，電子在第n軌道運(yùn)動時氫原子的能量（2分）
又因為    
則有  命題得證。                  （1分）
② 由①可知，電子在第1軌道運(yùn)動時氫原子的能量
電子在第2軌道運(yùn)動時氫原子的能量            （1分）
電子從第2軌道躍遷到第1軌道所釋放的能量（2分）
電子在第4軌道運(yùn)動時氫原子的能量         （1分）
設(shè)氫原子電離后電子具有的動能為，根據(jù)能量守恒有
                                               （2分）
解得                              （1分）