Question

在光滑絕緣的水平面上，存在平行于水平面向右的勻強電場，電場強度為E．水平面上放置兩個靜止的小球彳和B（均可看作質(zhì)點），兩小球質(zhì)量均為m，A球帶電荷量為+q，B球不帶電，A、B連線與電場線平行．開始時兩球相距L，在電場力作用下，A球開始運動（此時為計時零點，即t=0），后與B球發(fā)生對心碰撞，碰撞過程中A、B兩球總動能無損失．設(shè)在各次碰撞過程中，A、B兩球間無電量轉(zhuǎn)移，且不考慮兩球碰撞時間及兩球間的萬有引力．求：
（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度各為多大？
（2）從計時零點到即將發(fā)生第三次碰撞這段過程中，共經(jīng)過多長時間？
（3）從計時零點到即將發(fā)生第n次碰撞這段過程中，小球A經(jīng)過的位移大小為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球與B球碰撞前的速度．由于碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，交換速度．
（2）根據(jù)速度公式求出第一次碰撞時間．第一次碰后，A球追及B球，當(dāng)位移相等時，發(fā)生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞時間．同理求解第三次碰撞時間．
（3）采用歸納法分別分析從計時零點到即將發(fā)生第1次碰撞這段過程、第1次碰撞到即將發(fā)生第2次碰撞這段過程、從第2次碰撞到即將發(fā)生第3次碰撞這段過程…A球經(jīng)過的位移，得出規(guī)律，再求總位移．

解答：解：（1）A球的加速度為a=

qE

m

碰前A的速度為v_A1=

2aL

=

2qEL m

，碰前B的速度為v_B1=0由于碰撞過程中A、B兩球總動能無損失，交換速度，則碰撞后A、B的速度分別
   v_A1′=0，v_B1′=v_A1=

2qEL m

．
（2）A、B球發(fā)生第一次、第二次、第三次的碰撞時間分別為t₁、t₂、t₃．
則t₁=

vA1-0

a

=

2mL qE

第一次碰后，經(jīng)t₂-t₁時間A、B兩球發(fā)生第二次碰撞，設(shè)碰前瞬間A、B兩球速度為v_A2和v_B2，則有
   v_B1′（t₂-t₁）=

1

2

a(t2-t1)2
解得，t₂=3t₁
   v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=2

2qEL m

  v_B2=v_B1′=

2qEL m

第二次碰后瞬間，A、B兩球速度分別為
v_A2′和v_B2′，經(jīng)t₃-t₂時間A、B兩球發(fā)生碰撞，并設(shè)碰撞前瞬間A、B兩球速度分別v_A3和v_B3
則v_A2′=v_B2=

2qEL m

v_B2′=v_A2=2

2qEL m

當(dāng)v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+

1

2

a(t3-t2)2發(fā)生第三次碰撞
解得，t₃-t₂=t₂-t₁，t₃=5

2qEL m

（3）從計時零點到即將發(fā)生第1次碰撞這段過程中，小球A經(jīng)過的位移為S₁=L，由（2）分析知，每次碰撞后A、B小球交換速度，通過運算可知，
從第1次碰撞到即將發(fā)生第2次碰撞這段過程中，A球經(jīng)過的位移為S₂=4L，
從第2次碰撞到即將發(fā)生第3次碰撞這段過程中，A球經(jīng)過的位移為S₃=8L，
…
從第（n-1）次碰撞到即將發(fā)生第n次碰撞這段過程中，A球經(jīng)過的位移為S_n=（n-1）4L，
所以，從計時零點到即將發(fā)生第n次碰撞這段過程中，小球A經(jīng)過的位移大小為
S=S₁+S₂+S₃+…+S_n=L+4L+8L…+（n-1）4L=【1+2n（n-1）】L
答：
（1）第一次碰撞結(jié)束瞬間A、B兩球的速度分別為0和

2qEL m

．
（2）從計時零點到即將發(fā)生第三次碰撞這段過程中，共經(jīng)過5

2qEL m

時間．
（3）從計時零點到即將發(fā)生第n次碰撞這段過程中，小球A經(jīng)過的位移大小為【1+2n（n-1）】L．

點評：本題是小球周期性運動問題，關(guān)鍵要采用歸納法總結(jié)規(guī)律，運用數(shù)學(xué)方法求解．