Question

如圖所示，空間存在勻強電場和勻強磁場，電場方向為y軸正方向，磁場方向垂直于xy平面（紙面）向外，電場和磁場都可以隨意加上或撤除，重新加上的電場或磁場與撤除前的相同．一帶正電荷的粒子從P（x=0，y=h）點以一定的速度v₀平行于x軸正向入射．這時若只有磁場，粒子將做半徑為R₀的圓周運動；若同時存在電場和磁場，粒子恰好做直線運動．現(xiàn)在，只加電場，當粒子從P點運動到x=R₀平面（圖中虛線所示）時，立即撤除電場的同時加上磁場，粒子繼續(xù)運動，其軌跡與x軸交于M點．不計帶電粒子的重力．求：
（1）粒子到達x=R₀平面時的速度v；
（2）M點到坐標原點O的距離x_M．

Answer 1

分析：（1）同時存在電場和磁場，粒子恰好做直線運動，電場力與洛倫茲力平衡，得到場強與磁感應強度的關系．只有磁場時粒子將做半徑為R₀的圓周運動，由牛頓第二定律求出磁感應強度．只有勻強電場時，帶電粒子做類平拋運動，由牛頓第二定律求出加速度，運用運動的合成和分解法求出粒子到達x=R₀平面時的速度v；
（2）撤除電場加上磁場后，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求出半徑，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識求解M點到坐標原點O的距離x_M．

解答：解：（1）設帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，勻強電場的場強和勻強磁場的磁感應強度分別為E和B．
由題意          qE=qBv₀
由牛頓第二定律  qBv0=m

v 2 0

R0

只有勻強電場時，帶電粒子做類平拋運動．
由牛頓第二定律  qE=ma
如圖所示，帶電粒子到達A點時
   v_x=v₀
   v_y=at
   R₀=v_xt
粒子速度大小為 v=

v 2 x + v 2 y

解得       v=

2

v0
設速度v的方向與x軸正方向的夾角為θ，則  tanθ=

vy

vx

解得        θ=

π

4

（2）撤除電場加上磁場后，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，設圓軌道半徑為R，
由牛頓第二定律  qBv=m

v2

R

解得            R=

2

R0
粒子運動軌跡如圖所示，A點到x軸的距離為   H=h+

1

2

at2=h+

R0

2

圓心C位于與速度v方向垂直的直線上，由幾何關系，該直線與x軸負向和y軸負向的夾角均為

π

4

則C點坐標為    x_C=2R₀，yC=H-R0=h-

R0

2

過C點作x軸的垂線，垂足為D，在△CDM中，

.

CM

=R=

2

R0，

.

CD

=yC=h-

R0

2

.

DM

=

. CM 2- . CD 2

，xM=

.

OD

+

.

DM

解得  xM=2R0+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

．
答：
（1）粒子到達x=R₀平面時的速度v是

2

v0，方向與x軸正方向的夾角為

π

4

．
（2）M點到坐標原點O的距離x_M為2R₀+

7 4 R 2 0 +R0h-h2

．

點評：本題是綜合性很強的帶電粒子在電磁場中運動的問題，對電場中運動的合成與分解法、磁場中畫軌跡，運用幾何知識求距離等等方法要熟練，難度較大．