Question

18．如圖1所示，一根輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端掛一小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)小球位于O點(diǎn)．將小球從O點(diǎn)由靜止釋放，小球沿豎直方向在OP之間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖2所示．小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．
（1）在小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)某一位置A時(shí)動(dòng)能為E_k1，重力勢(shì)能為E_p1，彈簧彈性勢(shì)能為E_彈1，經(jīng)過(guò)另一位置B時(shí)動(dòng)能為E_k2，重力勢(shì)能為E_p2，彈簧彈性勢(shì)能為E_彈2．請(qǐng)理論探究彈簧、小球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒；
（2）已知彈簧勁度系數(shù)為k．以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸正方向，建立一維坐標(biāo)系O-x，如圖2所示．
①請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出小球從O運(yùn)動(dòng)到P的過(guò)程中，彈簧彈力的大小F隨相對(duì)于O點(diǎn)的位移x變化的圖象．
根據(jù)F-x圖象求出小球從O運(yùn)動(dòng)到任意位置x的過(guò)程中彈簧彈力所做的功W，以及小球在位置x時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_彈；
②已知小球質(zhì)量為m．求小球經(jīng)過(guò)OP中點(diǎn)時(shí)瞬時(shí)速度的大小v．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理、重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系、彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系分別列式，即可證明；
（2）畫(huà)出F-x圖象，該圖象與坐標(biāo)軸所圍的面積表示彈力做功，求出彈力做功從而得到彈簧的彈性勢(shì)能E_彈；
小球由O點(diǎn)到OP中點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理列式．小球由O點(diǎn)到P點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立解得v．

解答 解：（1）設(shè)重力做的功為W_G，彈力做的功為W_彈
根據(jù)動(dòng)能定理得     W_G+W_彈=E_k2-E_k1          
由重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系  W_G=E_p1-E_p2     
由彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系 W_彈=E_彈1-E_彈2     
聯(lián)立以上三式可得   E_k1+E_p1+E_彈1=E_k2+E_p2+E_彈2；
（2）①．F-x圖象如右圖所示                          
圖中的圖線(xiàn)和x軸圍成的面積表示功的大小
所以彈力做功為 W=-$\frac{1}{2}$kx²，
由彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系 W_彈=0-E_彈
解得  E_彈=$\frac{1}{2}$kx²；
②．小球由O點(diǎn)到OP中點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：
  mgx-$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$mv²-0
小球由O點(diǎn)到P點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
 mg•2x=$\frac{1}{2}$k（2x）²
解得  v=g$\sqrt{\frac{m}{k}}$
答：（1）證明見(jiàn)上．
（2）①、小球從O運(yùn)動(dòng)到任意位置x的過(guò)程中彈力所做的功W是-$\frac{1}{2}$kx²，以及小球在此位置時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_彈是$\frac{1}{2}$kx²．
②．已知小球質(zhì)量為m．小球經(jīng)過(guò)OP中點(diǎn)時(shí)瞬時(shí)速度的大小v是g$\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點(diǎn)評(píng) 證明機(jī)械能守恒，關(guān)鍵要把握合外力做功與動(dòng)能變化的關(guān)系、重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系、彈力做功與彈性勢(shì)能的關(guān)系．要注意彈力做功等于彈性勢(shì)能變化量的負(fù)值．