Question

為了探測x星球，載著登陸艙的探測飛船在該星球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，總質量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m₂，則（　�。�

A．x星球的質量為M= 4π2r1 T12

B．x星球表面的重力加速度為gx= 4π2r1 T12

C．登陸艙在r1與r2軌道上運動時的速度大小之比為 v1 v2 = m1r2 m2r1

D．登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運動的周期為T2=T1 r 32 r 31

Answer 1

A、研究飛船繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式：
G

Mm1

r 21

=m₁r₁

4π2

T 21

，解得：M=

4π2 r 31

G T 21

，故A錯誤．
B、根據圓周運動知識，a=

4π2r1

T 21

只能表示在半徑為r₁的圓軌道上向心加速度，而不等于X星球表面的重力加速度，故B錯誤．
C、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，在半徑為r的圓軌道上運動：
G

Mm

R2

=m

v2

R

，解得：v=

GM R

，表達式里M為中心體星球的質量，R為運動的軌道半徑；
所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的速度大小之比為：

v1

v2

=

r2 r1

，故C錯誤．
D、研究登陸艙繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式：
在半徑為r的圓軌道上運動：G

Mm

R2

=m

4π2

T2

R，得出：T=2π

R3 GM

；
表達式里M為中心體星球的質量，R為運動的軌道半徑．所以登陸艙在r₁與r₂軌道上運動時的周期大小之比為：

T1

T2

=

r 31 r 32

，所以T₂=T₁

r 32 r 31

，故D正確；
故選：D．