Question

11．如圖甲所示，兩條相距l(xiāng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于同一豎直面（紙面）內(nèi)，其上端接一阻值為R的電阻；在兩導(dǎo)軌間 OO′下方區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)使電阻為r、質(zhì)量為m的金屬棒ab由靜止開始自 OO′位置釋放，向下運(yùn)動(dòng)距離d后速度不再變化．（棒ab與導(dǎo)軌始終保持良好的電接觸且下落過程中始終保持水平，導(dǎo)軌電阻不計(jì)）．

（1）求棒ab在向下運(yùn)動(dòng)距離d過程中回路產(chǎn)生的總焦耳熱；
（2）棒ab從靜止釋放經(jīng)過時(shí)間t₀下降了$\fractjrf7xt{2}$，求此時(shí)刻的速度大��；
（3）如圖乙在OO′上方區(qū)域加一面積為s的垂直于紙面向里的均勻磁場(chǎng)B'，棒ab由靜止開始自 OO′上方一某一高度處釋放，自棒ab運(yùn)動(dòng)到OO′位置開始計(jì)時(shí)，B'隨時(shí)間t的變化關(guān)系B′=kt，式中k為已知常量；棒ab以速度v₀進(jìn)入OO′下方磁場(chǎng)后立即施加一豎直外力使其保持勻速運(yùn)動(dòng)．求在t時(shí)刻穿過回路的總磁通量和電阻R的電功率．

Answer 1

分析 （1）金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定，應(yīng)用安培力公式與平衡條件求出ab棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度，然后應(yīng)用能量守恒定律求出回路產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律與電流定義求出通過金屬棒的電荷量，然后應(yīng)用動(dòng)量定理求出金屬棒的速度．
（3）應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，然后應(yīng)用電功率公式求出電功率．

解答 解：（1）金屬棒受到的安培力：F=BIl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$，
金屬棒做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度達(dá)到穩(wěn)定，由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$=mg，
由能量守恒定律得：mgd=Q+$\frac{1}{2}$mv²，解得：Q=mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$；
（2）通過金屬棒橫截面的電荷量：
q=I△t=$\frac{E}{R+r}$△t=$\frac{\frac{△Φ}{△t}}{R+r}$△t=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{Bl×\fracjr7npr5{2}}{R+r}$=$\frac{Bld}{2（R+r）}$，
對(duì)金屬棒，由動(dòng)量定理得：（mg-BIl）t₀=mv，整理得：mgt₀-Blq=mv，
解得：v=gt₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}d}{2m（R+r）}$；
（3）磁通量：Φ=Blv₀t+kts，
由法律的電磁感應(yīng)定律得：E=$\frac{△Φ}{△t}$=Blv₀+ks，
電路電流：I=$\frac{E}{R+r}$，電功率：P=I²R，
解得：P=$\frac{（Bl{v}_{0}+ks）^{2}R}{（R+r）^{2}}$；
答：（1）棒ab在向下運(yùn)動(dòng)距離d過程中回路產(chǎn)生的總焦耳熱為：mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$；
（2）棒ab從靜止釋放經(jīng)過時(shí)間t₀下降了$\fracrt57ddx{2}$，此時(shí)刻的速度大小為：gt₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}d}{2m（R+r）}$；
（3）在t時(shí)刻穿過回路的總磁通量為：Blv₀t+kts，電阻R的電功率為$\frac{（Bl{v}_{0}+ks）^{2}R}{（R+r）^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求焦耳熱、金屬棒的速度、電功率問題，分析清楚金屬棒的運(yùn)動(dòng)過程、應(yīng)用平衡條件、能量守恒定律、動(dòng)量定理等知識(shí)即可解題；解（2）時(shí)注意動(dòng)量定理的應(yīng)用，要掌握其解題思路．