Question

9．如圖所示，一可看成質(zhì)點(diǎn)的小球從A點(diǎn)以某一水平向右的初速度出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后．進(jìn)入半徑R=10cm的光滑豎直圓形軌道，圓形軌遒間不相互重疊．即小球離開圓形軌道后可繼續(xù)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)右側(cè)有一壕溝，C、D兩點(diǎn)的豎直高度h=0.8m，水平距離s=2m，水平軌道AB長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=5m，BC長(zhǎng)為L(zhǎng)₂=4m，小球與水平軌道間的動(dòng)摩檫因數(shù)μ=0.2．取重力加速度g=l0m/s²．則：
（1）若小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，求小球在A點(diǎn)的初速度；
（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，又不掉進(jìn)壕溝，求小球在A點(diǎn)初速度的范 圍是多少．

Answer 1

分析 （1）小球恰好通過最高點(diǎn)，由重力充當(dāng)向心力，可求得最高點(diǎn)的臨界速度；再對(duì)A到圓形軌道最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理可求得A點(diǎn)的速度．
（2）小球飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可求得小球在A點(diǎn)的初速度范圍．

解答 解：（1）小球恰能通過最高點(diǎn)，則有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 
由A到最高點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理有：-μmgL₁-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得在A點(diǎn)的初速度為：v_A=5m/s
（2）若v_A=5m/s時(shí)，設(shè)小球?qū)⑼Ｔ贐C間距B點(diǎn)x處．由動(dòng)能定理得：-μmg（L₁+x）=0$\frac{1}{2}$mv_A²
解得：x=1.25m
若小球剛好停在C處，則有：-μmg（L₁+L₂）=0-$\frac{1}{2}$mv′²_A
解得在A點(diǎn)的初速度為：v_A′=6m/s
若小球停在BC段，則有：5m/s≤v_A≤6m/s
若小球能通過C點(diǎn)，并越過壕溝，則有：
h=$\frac{1}{2}$gt²
s=v_ct
從A到C的過程，由動(dòng)能定理有：
-μmg（L₁+L₂）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv″_A²
則有：v″_A=$\sqrt{61}$m/s；
故欲滿足題意，初速度范圍是：5m/s≤v_A≤6m/s和v_A≥$\sqrt{61}$m/s（不取等號(hào)也可）
答：（1）若小球恰能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，小球在A點(diǎn)的初速度是5m/s；
（2）若小球既能通過圓形軌道的最高點(diǎn)，又不掉進(jìn)壕溝，小球在A點(diǎn)初速度的范 圍是：5m/s≤v_A≤6m/s和v_A≥$\sqrt{61}$m/s（不取等號(hào)也可）．

點(diǎn)評(píng) 在解題時(shí)要注意正確分析物理過程，做好受力分析，再選擇合適的物理規(guī)律求解即可．要注意分析隱含的臨界狀態(tài)，不能漏解．