Question

一小球自A點豎直向上拋出，在大風(fēng)的情況下，若風(fēng)力的大小恒定、方向水平向右，小球運動的軌跡如圖所示（小球的運動可看作豎直方向的豎直上拋運動和水平方向的初速為零的勻加速度直線運動的合運動）．在小球運動的軌跡上A、B兩點處在同一水平線上，M點為軌跡的最高點．小球拋出的初動能為5J，小球在最高點M處的動能為2J，其它的阻力不計．求：
（1）小球水平位移S₁與S₂之比；
（2）小球的重力G與所受風(fēng)力F的比值；
（3）小球落回到B點時的動能E_KB；
（4）小球從A點到B點的運動過程中，小球動能的最小值．

Answer 1

分析：（1）小球在豎直方向上做豎直上拋運動，根據(jù)對稱性可知從A點至M點和從M點至B點的時間t相等．小球在水平方向上做初速為零的勻加速運動，由運動學(xué)公式位移公式，運用比例法求出S₁與S₂之比；
（2）小球從A運動到M過程中，由A處和M處的動能，得到兩處速度與動能的關(guān)系式．根據(jù)豎直和水平兩個方向的分運動，由速度公式和牛頓第二定律求解重力G與所受風(fēng)力F的比值；
（3）分別研究A到M和A到B水平方向的分運動，由運動學(xué)公式速度位移關(guān)系式求出小球到達B點的速度，即可得到動能E_KB；
（4）根據(jù)速度的合成得到動能與時間的關(guān)系式，運用數(shù)學(xué)知識求極值，得到小球動能的最小值．

解答：解：（1）小球在豎直方向上做豎直上拋運動，根據(jù)對稱性得知，從A點至M點和從M點至B點的時間t相等．
小球在水平方向上做初速為零的勻加速直線運動，設(shè)加速度為a，則
   S₁=

1

2

at2
   S₂=

1

2

a(2t)2-

1

2

at2=

3

2

at2
 所以

S1

S2

=

1

3

                                 
（2）由題，

1

2

m

v

2 A

=5J，得v_A=

10 m

又豎直方向上，有v_A=gt=

G

m

t，所以

10 m

=

G

m

t，①

1

2

m

v

2 M

=2J，得v_M=

4 m

在水平方向上，有 v_M=at=

F

m

t，則得

4 m

=

F

m

t，②
所以①：②得

G

F

=

5 2

                             
（3）小球在水平方向上

v

2 M

=2aS₁，

v

2 Bx

=2a（S₁+S₂）=8aS₁，
故

v

2 Bx

=4

v

2 M

小球落回到B點時的動能E_KB=

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m(

v

2 Bx

+

v

2 By

)=

1

2

m?4

v

2 M

+

1

2

m

v

2 A

=13J
（4）設(shè)小球運動時間為t時動能為E_k，則
   E_k=

1

2

m(v0-gt)2+

1

2

m(at)2
化簡為 （g²+a²）t²-2v₀gt+

v

2 0

-

2Ek

m

=0
 當(dāng)△=0時有極值，
則4

v

2 0

g2-4（g²+a²）(

v

2 0

-

2Ek

m

)=0
得E_k=

a2

g2+a2

E_k0
由

G

F

=

5 2

得a=

10

5

g
即E_kmin=

2

7

Ek0=

2

7

×5J=1.43J    
答：
（1）小球水平位移S₁與S₂之比1：3；
（2）小球的重力G與所受風(fēng)力F的比值是

5

：

2

；
（3）小球落回到B點時的動能E_KB是13J；
（4）小球從A點到B點的運動過程中，小球動能的最小值是1.43J．

點評：本題運用運動的合成和分解法處理，抓住豎直方向上運動的對稱性得到時間關(guān)系是關(guān)鍵．對于第4題，也可以求出重力加速度與風(fēng)力加速度形成合加速度，當(dāng)速度方向與合加速度方向垂直時速度最小，動能最小，再由運動學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合求解．