Question

6．如圖所示，在xoy平面直角坐標(biāo)系中，直線PQ與y軸成θ=45°角，且OP=L，第一象限分布著垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，另外三個象限分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電微粒從P點(diǎn)沿PQ方向射出，不計微粒的重力．求：
（1）若在第一象限加一勻強(qiáng)電場可使微粒從P點(diǎn)以v₀的初速度沿PQ直線到達(dá)Q點(diǎn)，求勻強(qiáng)電場場強(qiáng)E的大小和方向；
（2）撤去電場，微粒從P點(diǎn)出發(fā)第一次經(jīng)過x軸恰經(jīng)過原點(diǎn)O，則微粒從P點(diǎn)出發(fā)到達(dá)Q點(diǎn)所用的時間t；
（3）撤去電場，微粒從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)所對應(yīng)的初速度v′．

Answer 1

分析 （1）微粒沿PQ做勻速運(yùn)動，根據(jù)受力平衡求出電場強(qiáng)度的大小，由左手定則判斷洛倫茲力方向，電場力方向與洛倫茲力相反，粒子帶負(fù)電，電場方向與電場力方向相反；
（2）畫出粒子運(yùn)動的軌跡，粒子在y軸右側(cè)運(yùn)動$\frac{1}{4}$周，在y軸左側(cè)運(yùn)動$\frac{3}{4}$周到達(dá)Q點(diǎn)，整個運(yùn)動時間為一個周期；
（3）分兩種情況討論：第一類：若微粒運(yùn)動路徑經(jīng)過第三象限而到Q，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，由洛倫茲力提供向心力求出對應(yīng)的初速度v′；
第二類：若微粒運(yùn)動路徑不經(jīng)過第三象限而到Q，畫出運(yùn)動軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出對應(yīng)的初速度v′；

解答 解：（1）根據(jù)題意，此時微粒沿PQ做勻速運(yùn)動，有：qv₀B-qE=0…①
由①得：E=v₀B，方向垂直于PQ連線指向左下．…②
（2）根據(jù)題意作出微粒運(yùn)動軌跡如圖所示
．…③
設(shè)微粒在磁場中做圓周運(yùn)動的軌道半徑為R，由幾何關(guān)系知：L=2Rsinθ…④
$qvB=m\frac{v^2}{R}$…⑤
$T=\frac{2πR}{v}$…⑥
t=T…⑦
聯(lián)解③④⑤⑥⑦得：
$T=\frac{2πm}{qB}$…⑧
（3）根據(jù)題意，微粒的運(yùn)動可以分為兩類情況：

第一類：若微粒運(yùn)動路徑經(jīng)過第三象限而到Q，如（2）中圖所示，則由幾何關(guān)系有：
$（2n-1）\sqrt{2}R'=L$…⑨
$qv'B=m\frac{{{{v'}^2}}}{R'}$…⑩
聯(lián)解⑨⑩得：$v'=\frac{qBL}{{（2n-1）\sqrt{2}m}}$（n=1、2、3…）…⑪
第二類：若微粒運(yùn)動路徑不經(jīng)過第三象限而到Q，如圖所示，則由幾何關(guān)系：
$2n\sqrt{2}R''=L$…⑫
$qv''B=m\frac{{{{v''}^2}}}{R''}$…⑬
聯(lián)解⑫⑬得：$v''=\frac{qBL}{{2\sqrt{2}nm}}$（n=1、2、3…）…⑭
答：（1）勻強(qiáng)電場場強(qiáng)E的大小${v}_{0}^{\;}B$和方向垂直于PQ連線指向左下；
（2）撤去電場，微粒從P點(diǎn)出發(fā)第一次經(jīng)過x軸恰經(jīng)過原點(diǎn)O，則微粒從P點(diǎn)出發(fā)到達(dá)Q點(diǎn)所用的時間t為$\frac{2πm}{qB}$；
（3）撤去電場，微粒從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)所對應(yīng)的初速度v′為
①第一類：若微粒運(yùn)動路徑經(jīng)過第三象限而到Q，$v′=\frac{qBL}{（2n-1）\sqrt{2}m}$（n=1、2、3…）
②第二類：若微粒運(yùn)動路徑不經(jīng)過第三象限而到Q，$v′=\frac{qBL}{2\sqrt{2}nm}$（n=1、2、3…）

點(diǎn)評 本題考查粒子在磁場中的運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，關(guān)鍵是畫出軌跡圖，利用幾何關(guān)系列式求解．考查學(xué)生處理問題的靈活以及解決實(shí)際問題的能力．