Question

如圖所示，在方向豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有兩條固定光滑的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，間距為L(zhǎng)，其電阻不計(jì)，導(dǎo)軌平面與磁場(chǎng)垂直．a(chǎn)b、cd為兩根垂直于導(dǎo)軌水平放置的金屬棒，其接入回路中的電阻均為R．質(zhì)量均為 m．與金屬導(dǎo)軌平行的水平細(xì)線一端固定，另一端與cd棒的中點(diǎn)連接，細(xì)線能承受的 最大拉力為T，一開始細(xì)線處于伸直狀態(tài)．a(chǎn)b棒在平行導(dǎo)軌的水平拉力的作用下由靜止開始以加速度a向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩根金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌接觸良好且與導(dǎo)軌相垂直．
（1）求經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間細(xì)線被拉斷？
（2）若在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力，試說明在以后的過程中，ab與cd捧的運(yùn)動(dòng)情況．
（3）求細(xì)線被拉斷后，回路中共產(chǎn)生多少電熱？cd棒消耗的電能多大？

Answer 1

分析：（1）ab棒向右做勻加速運(yùn)動(dòng)進(jìn)，穿過回路abcd的磁通量增大，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，cd受到向右的安培力作用，當(dāng)安培力大小等于細(xì)線的最大拉力時(shí)，細(xì)線被拉斷．根據(jù) E=BLv、I=

E

2R

、F=BIL，v=at，推導(dǎo)出安培力F的表達(dá)式，根據(jù)根據(jù)F=T，即可求得t；
（2）在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右開始做加速運(yùn)動(dòng)，cd切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)將減小，感應(yīng)電流減小，則ab做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，cd做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終兩者以共同速度v′做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒求得兩棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，根據(jù)能量守恒求解回路總共產(chǎn)生的電熱．cd棒消耗的電能等于增加的動(dòng)能與產(chǎn)生的熱量之和．

解答：解：（1）設(shè)繩被拉斷時(shí)回路中的電流為I，設(shè)拉斷時(shí)棒ab中電動(dòng)勢(shì)為E，速度為v，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則
   E=BLv 
  I=

E

2R

  v=at 
cd棒所受的安培力為 F=BIL，
聯(lián)立解得，F(xiàn)=

B2L2at

2R

細(xì)線即將拉斷時(shí)，對(duì)cd有：T=F
解得：t=

2TR

aB2L2

  
（2）在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力F后，cd棒由于受到向右的安培力也向右開始做加速運(yùn)動(dòng)，cd切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)將減小，感應(yīng)電流減小，ab做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，cd做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終兩者以共同速度v′做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
故兩桿做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，cd做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終兩者以相同的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）設(shè)兩棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的相同速度為v′，據(jù)動(dòng)量守恒得：
  mv=2mv′
線斷后回路中產(chǎn)生的熱能
  Q_B=

1

2

mv2-

1

2

×2mv2
得：Q_B=

mT2R2

B4L4

cd棒消耗的電能
  E_cd耗=△E_kcd+Q_cd
而△E_kcd=

1

2

mv2-0
  Q_cd=

1

2

QB
解得：E_cd耗=

mT2R2

B4L4

答：
（1）經(jīng)

2TR

aB2L2

時(shí)間細(xì)線被拉斷．
（2）若在細(xì)線被拉斷瞬間撤去拉力，ab做加速度逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)，cd做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終兩者以共同速度v‘做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（3）細(xì)線被拉斷后，回路中共產(chǎn)生

1

2

QB電熱，cd棒消耗的電能為

mT2R2

B4L4

．

點(diǎn)評(píng)：本題雙桿模型，當(dāng)cd棒不動(dòng)時(shí)，只有ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，關(guān)鍵要會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式．當(dāng)cd棒也運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵要正確分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒結(jié)合求解熱量．