Question

19．如圖所示，有一半球形容器，其豎直截面為半圓．AB為沿水平方向的直徑，D是圓周的最低點，E是AD間某一點，C與E在相同的高度．一個可視為質(zhì)點的小球從A點以速度v₀水平拋出，恰好落在E點，若以2v₀拋出，恰好落在C點，設球的半徑為R，則下列判斷正確的是（　�。�

• A． 初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時，小球恰好落在D點
• B． 初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時，小球?qū)⒙湓贒點的左側(cè)
• C． OC與豎直方向夾角的正弦值為$\frac{1}{4}$
• D． OE與豎直方向夾角的正弦值為$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 平拋運動可以分解為在水平方向上的勻速直線運動，和豎直方向上的自由落體運動，
豎直方向上的位移已經(jīng)知道了，但是水平方向的位移要用三角形的知識來求，然后才能求圓的半徑．

解答 解：設圓半徑為r，質(zhì)點做平拋運動，設水平方向的位移為x，豎直方向上的位移為y，
則：x=v₀t
由于恰好落在C點時的初速度是恰好落在E點時的初速度的2倍，所以：
x_AC=2x_AE 
連接OC和OE，由于CE在同一條水平線上，由幾何關(guān)系可知它們與豎直方向之間的夾角相等，設為θ，如圖：

則：r+rsinθ=2（r-rcosθ） 
所以：sinθ=$\frac{1}{3}$；所以選項C錯誤，D正確；
$\frac{1}{2}{x}_{AC}={x}_{AE}=\frac{2}{3}r$
由圖可知D點的位置在CE點的下方，由：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$可知，小球到達D點的時間大于到達CE的時間；
若小球初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時，小球落在CE點之間時的位移：$x=v′t′=\frac{3{v}_{0}}{2}•t′＞\frac{3{v}_{0}}{2}•t$=$\frac{3{v}_{0}}{2}•\frac{\frac{2}{3}r}{{v}_{0}}=r$
所以若小球初速度為$\frac{3{v}_{0}}{2}$時，小球落在D點的右側(cè)．故A錯誤，B錯誤．
故選：D

點評 考查平拋運動規(guī)律的應用，但是水平方向的位移不知道，所以用的數(shù)學的知識較多，需要熟練的應用三角形的邊角關(guān)系．