Question

如圖a所示，平行金屬板A、B間的電壓U_AB=200V，B板有一小孔O，靠近B板有一固定的絕緣圓筒，其橫截面半徑R=

3

m，O′在圓筒軸線上，筒壁有小孔H，O′HO共線且連線與圓筒軸線、B板均垂直，交A板于P點(diǎn)．現(xiàn)有一比荷

q

m

=100C/kg的帶正電粒子，從A板上的P點(diǎn)附近由靜止釋放，在電場(chǎng)力作用下沿OO′方向射入圓筒．從粒子進(jìn)入圓筒開始（計(jì)時(shí)零點(diǎn)），在圓筒內(nèi)加入方向與軸線平行的交變磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化如圖b（垂直紙面向里為磁場(chǎng)正方向），粒子在磁場(chǎng)力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)并與筒壁碰撞．（粒子與筒壁碰撞前后動(dòng)能和電量均不變，且不計(jì)重力，忽略碰撞所用時(shí)間及磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的感應(yīng)影響．）問：

（1）粒子第一次到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速率為多大？
（2）如果圖b中的t₁時(shí)刻就是粒子進(jìn)入圓筒后第一次碰撞到圓筒的時(shí)刻，t₁的值是多少？
（3）如果圖b中的t₁和t₁+t₂時(shí)刻分別是粒子進(jìn)入圓筒后第一次和第二次碰撞到圓筒的時(shí)刻，要使粒子能做周期性的往返運(yùn)動(dòng)，則金屬板A和B間的距離d至少為多大？

Answer 1

分析：（1）電場(chǎng)力對(duì)粒子做正功，可以求出粒子達(dá)到O的速度；
（2）粒子進(jìn)入圓筒后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，求出運(yùn)動(dòng)的周期，再根據(jù)偏轉(zhuǎn)角與周期的關(guān)系即可求出t；
（3）分別求出兩種情況下的半徑與周期，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖象，再根據(jù)題目的幾何關(guān)系方向滿足的條件．

解答：解：（1）兩種從A到B的過程中，電場(chǎng)力做正功，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qUAB=

1

2

mv2
代人數(shù)據(jù)，解得：
v=200m/s
（2）粒子進(jìn)入圓筒后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
得：qvB1=

mv2

r1

T1=

2πm

qB1

粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，由幾何關(guān)系可知，tan

θ

2

=

R

r1

=

3

粒子轉(zhuǎn)過的圓心角θ為120°
需要的時(shí)間：t1=

T1

3

=

π

3

×10-2s
（3）在t₁～t₁+t₂的時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：
r2=

mv

qB2

=3m
周期：T2=

2πm

qB2

=3π×10-2s
由幾何關(guān)系可知，tan

θ′

2

=

R

r2

=

3

3

粒子轉(zhuǎn)過的圓心角θ′為60°，需要的時(shí)間：
t2=

T2

6

=

π

2

×10-2s
要使粒子做周期性的往返運(yùn)動(dòng)，粒子在AB板之間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間至少是t₂
軌跡勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：d=

1

2

at2
又：qE=ma
E=

U

d

t=

1

2

t2
代人數(shù)據(jù)求得：d=25π×10^-2m=0.785m

點(diǎn)評(píng)：解決該題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的要求，正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系寫出粒子的半徑與磁場(chǎng)的半徑的關(guān)系．該題對(duì)空間思維的能力要求比較高．