Question

如圖所示，斜面與水平面在B點(diǎn)銜接，水平面與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在C點(diǎn)銜接，半圓形導(dǎo)軌的半徑為r=0.4m．質(zhì)量m=0.50kg的小物塊，從A點(diǎn)沿斜面由靜止開始下滑，測得它經(jīng)過C點(diǎn)進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌瞬間對導(dǎo)軌的壓力為35N，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能完成半圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)D點(diǎn)．已知A到B的水平距離為l₁=3.2m，B到C的水平距離為l₂=1.6m，物塊與斜面及水平面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.25，不計(jì)物塊通過銜接點(diǎn)時(shí)的能量損失，g取10m/s²．
求：
（1）物塊從C至D克服阻力做了多少功？
（2）A點(diǎn)離水平面的高度h為多大？
（3）為使物塊恰好不能越過C而進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌內(nèi)，物塊在斜面上下滑的起始高度應(yīng)調(diào)節(jié)為多大？

Answer 1

分析：（1）小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過C點(diǎn)的速度．小球恰好到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，求出小球經(jīng)過D點(diǎn)的速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求解物塊從C至D克服阻力做功．
（2）從A到B過程，由動(dòng)能定理求出h．
（3）物塊恰好不能越過C點(diǎn)時(shí)速度為零，再由動(dòng)能定理求解物塊在斜面上下滑的起始高度．

解答：解：（1）圓周運(yùn)動(dòng)在C點(diǎn)有，N-mg=m

v 2 C

r

  ①
圓周運(yùn)動(dòng)在D點(diǎn)有，mg=m

v 2 D

r

  ②
從C至D由動(dòng)能定理有，-mg?2r-W_f=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 C

  ③
聯(lián)立①②③式并代入數(shù)據(jù)可解得，從C至D物塊克服阻力做的功W_f=1J   ④
（2）從A到B過程，物塊克服阻力做的功W1=μmgcosθ?

l1

cosθ

=μmgl1  ⑤
從A到C，由動(dòng)能定理有，mgh-W1-μmgl2=

1

2

m

v

2 C

-0⑥
聯(lián)立①⑤⑥式并代入數(shù)據(jù)可解得，h=2.4m⑦
（3）從起始到C點(diǎn)由動(dòng)能定理有，mgh′-μmgcosθ?

h′

sinθ

-μmgl2=0⑧
又   

sinθ

cosθ

=

h′

l1

=

3

4

⑨
聯(lián)立⑧⑨式并代入數(shù)據(jù)可解得，h'=0.6m
答：
（1）物塊從C至D克服阻力做了1J功．
（2）A點(diǎn)離水平面的高度h為2.4m．
（3）為使物塊恰好不能越過C而進(jìn)入半圓形導(dǎo)軌內(nèi)，物塊在斜面上下滑的起始高度應(yīng)調(diào)節(jié)為0.6m．

點(diǎn)評：物塊做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)向心力知識求解速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解阻力做功，都是常用的方法和思路．