Question

如圖所示，直角坐標(biāo)平面Oxy在豎直平面內(nèi)，y軸豎直向上，在第一象限內(nèi)分布著方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)(不包含y軸)，場(chǎng)強(qiáng)大小用E₁，表示，在第二象限內(nèi)分布著方向沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小用E₂表示。用長(zhǎng)度為L的絕緣細(xì)線將質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小球(可看成質(zhì)點(diǎn))懸掛在P點(diǎn)，P點(diǎn)在y軸上，坐標(biāo)為((0, 2L)，在P點(diǎn)正下方與P點(diǎn)距離小于L的某點(diǎn)Q釘一釘子。現(xiàn)用外力把小球拉到左側(cè)與P等高處，細(xì)線被拉直與x軸平打，由靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩恰被拉斷，然后進(jìn)入第一象限，經(jīng)過時(shí)間，立即在第一象限內(nèi)再加垂直于Oxy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，再經(jīng)過時(shí)間t_o，=撤去勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知E₁=，E₂=，細(xì)線能夠承受的最大拉力是F₀=3mg。(結(jié)果用g、L、m表示)求：

(1)小球在下擺過程中的最大速度v_m=?

(2)Q點(diǎn)與P點(diǎn)之間的距離h=?

(3)小球在第一象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=? 小球離開第一象限的位置坐標(biāo)?

Answer 1

解：

(1) 小球在向下擺動(dòng)過程中，設(shè)合力與豎直方向的夾角為θ，當(dāng)速度方向與合力方向垂直時(shí)，即細(xì)線與豎直方向的夾角為θ時(shí)，速度最大，設(shè)為v_m，則

 …………………（2分）

解得，θ=37^°

由動(dòng)能定理有，有

 ………………………（2分）

解得      ………………………（1分）

（2）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到Ｐ點(diǎn)正下方時(shí)速度為v₁，由動(dòng)能定理有，有

   ………………………（2分）

解得

小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)線被釘子擋住，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則

根據(jù)牛頓第二定律，有

 ………………………（1分）

   ………………………（1分）

解得 ………………………（1分）

（3）繩被拉斷，小球進(jìn)入第一象限，由于qE₁=mg，所以小球沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間t₀，加上勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，周期為T，則

   ………………………（1分）

   ………………………（1分）

解得 ，

所以，   ………………………（1分）

即小球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間是四分之三個(gè)周期，撤去勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，小球向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)穿過x軸，設(shè)撤去勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，小球的位置與x軸的距離是y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，則

 ………………………（1分）

   ………………………（1分）

在第一象限的總時(shí)間………………………（1分）

  …………（1分）

設(shè)小球離開x軸的坐標(biāo)為（x，0），則

  …………（1分）

解得，小球離開第一象限的位置坐標(biāo)是（ …（1分）