Question

7．一物體沿x軸在x₁=-A和x₂=A的區(qū)間內做簡諧運動．則該物體在四分之一周期內通過的路程L的所有可能值的范圍是（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A，某人對此物體作隨機觀察，則該物體出現(xiàn)的微小間隔0≤x≤a中的概率是$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$．

Answer 1

分析 作簡諧運動的物體，在$\frac{1}{4}$周期內通過的路程可以結合位移時間關系圖象進行分析，也可以運用解析法求出相差四分之一周期的兩個時刻間的路程的一般表達式進行分析討論．

解答 解：t時刻位移為：x=Asinωt
t+$\frac{T}{4}$時刻的位移為：x′=Asin（ωt+90°）
由于ωT=2π，故有：
若$0≤t≤\frac{T}{4}$或$\frac{T}{2}≤t≤\frac{3T}{4}$，則從t時刻到t+$\frac{T}{4}$時刻的路程為：S=2A-|x+x′|=2A-|Asinωt+Asin（ωt+90°）|=2A-|$\sqrt{2}Asin（ωt+45°）$|，故此時最小為（2A-$\sqrt{2}A$），最大為A；
若$\frac{T}{4}≤t≤\frac{T}{2}$或$\frac{3T}{4}≤t≤T$，則從t時刻到t+$\frac{T}{4}$時刻的路程為：S=|x-x′|=Asinωt-Asin（ωt+90°）|=|$\sqrt{2}Asin（ωt-45°）$|，故此時最大為$\sqrt{2}A$，最小為A；
所以該物體在四分之一周期內通過的路程L的所有可能值的范圍是（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A
若選擇半個周期π，則物體會均勻出現(xiàn)在[A，-A]之間，所以該物體出現(xiàn)的微小間隔0≤x≤a中的概率是$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$
故答案為：（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A，$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$

點評 本題關鍵得出t時刻和t+$\frac{T}{4}$時刻的位移，然后給出路程的一般表達式進行分析討論，由于圖象較形象、直觀，故也可以從位移時間圖象角度進行討論．