Question

20．如圖所示，相距3L的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個(gè)大小不同、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中PT上方的電場(chǎng)I的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向下，PT下方的電場(chǎng)Ⅱ的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向上，電場(chǎng)I的場(chǎng)強(qiáng)大小是電場(chǎng)Ⅱ的場(chǎng)強(qiáng)大小的兩倍，在電場(chǎng)左邊界AB上有點(diǎn)Q，PQ間距離為L．從某時(shí)刻起由Q以初速度v₀沿水平方向垂直射入勻強(qiáng)電場(chǎng)的帶電粒子，電量為+q、質(zhì)量為m．通過PT上的某點(diǎn)R進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)I后從CD邊上的M點(diǎn)水平射出，其軌跡如圖，若PR兩點(diǎn)的距離為2L．不計(jì)粒子的重力．試求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)I的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和MT之間的距離；
（2）有一邊長為a、由光滑彈性絕緣壁圍成的正三角形容器，在其邊界正中央開有一小孔S，將其置于CD右側(cè)且緊挨CD邊界，若從Q點(diǎn)射入的粒子經(jīng)AB、CD間的電場(chǎng)從S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中與器壁多次垂直碰撞后仍能從S孔射出（粒子與絕緣壁碰撞時(shí)無機(jī)械能和電量損失），并返回Q點(diǎn)，需在容器中現(xiàn)加上一個(gè)如圖所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑小于$\frac{1}{2}$a，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件以及從Q出發(fā)再返回到Q所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在兩電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由圖可得出粒子在兩電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況；分別沿電場(chǎng)方向和垂直電場(chǎng)方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r應(yīng)滿足：$（{1+2n}）r=\frac{1}{2}a$（n=1，2…）．根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算時(shí)間的大小．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)PT直線上的點(diǎn)R由E₂電場(chǎng)進(jìn)入E₁電場(chǎng)，由Q到R及R到M點(diǎn)的時(shí)間分別為t₂與t₁，到達(dá)R時(shí)豎直速度為v_y，則：
由F=qE=ma
2L=v₀t₂
L=v₀t₁
$L=\frac{1}{2}\frac{{{E_2}q}}{m}t_2^2$
所以得：${E_1}=\frac{mv_0^2}{qL}$
${v_y}=\frac{{{E_2}q}}{m}{t_2}=\frac{{{E_1}q}}{m}{t_1}$
$MT=\frac{1}{2}\frac{{{E_1}q}}{m}t_1^2$
上述三式聯(lián)立解得：$MT=\frac{1}{2}L$
（2）欲使粒子仍能從S孔處射出，粒子向上偏轉(zhuǎn)后可能在SM之間與正三角形容器沒有碰撞，在另外的兩個(gè)邊上各碰撞一次，運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，則：r=$\frac{1}{2}$a；
若粒子向上偏轉(zhuǎn)后可能在SM之間與正三角形容器發(fā)生一次碰撞，在另外的兩個(gè)邊上各碰撞三次，運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，則：$3r=\frac{1}{2}a$
若粒子向上偏轉(zhuǎn)后可能在SM之間與正三角形容器發(fā)生n次碰撞，則$（{1+2n}）r=\frac{1}{2}a$（n=1，2…）
粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則：$qvB=\frac{mv_0^2}{r}$
解得：$B=\frac{{2m{v_0}（1+2n）}}{qa}$（n=1，2…）
由幾何關(guān)系可知$t=3×（2n×\frac{T}{2}+\frac{T}{6}）=（3n+\frac{1}{2}）T$（n=1，2，3…）
$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$
代入B得：$T=\frac{πa}{{（2n+1）{v_0}}}$，$t=\frac{（6n+1）πa}{{2（2n+1）{v_0}}}，n=1.2…$
電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t′=2（t₁+t₂）=$\frac{6L}{{v}_{0}}$
故從Q出發(fā)再返回到Q所經(jīng)歷的時(shí)間為：t_總=t+t′=$\frac{（6n+1）πa}{2（2n+1）{v}_{0}}$+$\frac{6L}{{v}_{0}}$，n=1，2，…
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)I的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為${E_1}=\frac{mv_0^2}{qL}$，MT之間的距離為$\frac{1}{2}$L；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小應(yīng)滿足的條件為$B=\frac{{2m{v_0}（1+2n）}}{qa}$n=1，2…；從Q出發(fā)再返回到Q所經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{（6n+1）πa}{2（2n+1）{v}_{0}}$+$\frac{6L}{{v}_{0}}$，n=1，2，…．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要把握其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在電場(chǎng)中利用幾何關(guān)系得出其沿電場(chǎng)．和垂直于電場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；而在磁場(chǎng)中也是要注意找出相應(yīng)的幾何關(guān)系，從而確定圓心和半徑，屬于難題．