Question

（25分）圖中oxy是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系，在的一側(cè)，存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于oxy平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在的一側(cè)，一邊長(zhǎng)分別為和的剛性矩形超導(dǎo)線(xiàn)框位于桌面上，框內(nèi)無(wú)電流，框的一對(duì)邊與x軸平行。線(xiàn)框的質(zhì)量為m，自感為L(zhǎng)。現(xiàn)讓超導(dǎo)線(xiàn)框沿x軸方向以初速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，試定量地討論線(xiàn)框以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況及與初速度大小的關(guān)系。（假定線(xiàn)框在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）

Answer 1

解析：

設(shè)某一時(shí)刻線(xiàn)框在磁場(chǎng)區(qū)域的深度為x，速度為，因線(xiàn)框的一條邊切割磁感應(yīng)線(xiàn)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，它在線(xiàn)框中引起感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的變化又引起自感電動(dòng)勢(shì)．設(shè)線(xiàn)框的電動(dòng)勢(shì)和電流的正方向均為順時(shí)針?lè)较�，則切割磁感應(yīng)線(xiàn)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)與設(shè)定的正方向相反，自感電動(dòng)勢(shì)與設(shè)定的正方向相同.因線(xiàn)框處于超導(dǎo)狀態(tài)，電阻，故有

           （1）

即

                       （2）

或

                                            （3）

即

                           （4）

可見(jiàn)與x成線(xiàn)性關(guān)系，有

                                             （5）

C為一待定常數(shù)，注意到時(shí)，，可得，故有

                            （6）

時(shí)，電流為負(fù)值表示線(xiàn)框中電流的方向與設(shè)定的正方向相反，即在線(xiàn)框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)右側(cè)邊的電流實(shí)際流向是向上的．外磁場(chǎng)作用于線(xiàn)框的安培力

                    （7）

其大小與線(xiàn)框位移x成正比，方向與位移x相反，具有“彈性力”的性質(zhì)．下面分兩種情形做進(jìn)一步分析：

（i）線(xiàn)框的初速度較小，在安培力的作用下，當(dāng)它的速度減為0時(shí)，整個(gè)線(xiàn)框未全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，這時(shí)在安培力的繼續(xù)作用下，線(xiàn)框?qū)⒎聪蜻\(yùn)動(dòng)，最后退出磁場(chǎng)區(qū)．線(xiàn)框一進(jìn)一出的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的半個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率

                                             （8） 

周期

                                             （9）

振動(dòng)的振幅可由能量關(guān)系求得，令表示線(xiàn)框速度減為0時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的深度，這時(shí)線(xiàn)框的初始動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換為“彈性力”的“彈性勢(shì)能”，由能量守恒可得

                              （10）

得

                                         （11）

故其運(yùn)動(dòng)方程為

，  t從0到 （12）

半個(gè)周期后，線(xiàn)框退出磁場(chǎng)區(qū)，將以速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．因?yàn)樵谶@種情況下的最大值是，即

                                     （13）

由此可知，發(fā)生第（i）種情況時(shí)，的值要滿(mǎn)足下式

                                     

即                                            （14）

 (ii) 若線(xiàn)框的初速度比較大，整個(gè)線(xiàn)框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)．當(dāng)線(xiàn)框剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，其速度仍大于0，這要求滿(mǎn)足下式

                                               （15）

當(dāng)線(xiàn)框的初速度滿(mǎn)足（15）式時(shí)，線(xiàn)框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域以前，線(xiàn)框的運(yùn)動(dòng)方程與（12）式相同，但位移區(qū)間是到，所以時(shí)間間隔與（12）式不同，而是從0到

                       （16）                    

因?yàn)榫�(xiàn)框的總電動(dòng)勢(shì)總是為0，所以一旦線(xiàn)框全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，線(xiàn)框的兩條邊都切割磁感應(yīng)線(xiàn)，所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)之和為 0，因而自感電動(dòng)勢(shì)也為0．此后線(xiàn)框中維持有最大的電流，磁場(chǎng)對(duì)線(xiàn)框兩條邊的安培力的合力等于零，線(xiàn)框?qū)⒃诖艌?chǎng)區(qū)域勻速前進(jìn)，運(yùn)動(dòng)的速度可由下式?jīng)Q定

即

                                      （17）