Question

如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑絕緣水平臺(tái)左端固定一被壓縮的絕緣輕質(zhì)彈簧，一個(gè)質(zhì)量m=0.04kg、電量q=+2×10^-4c的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶電小球與彈簧接觸但不栓接．某一瞬間釋放彈簧彈出小球，小球從水平臺(tái)右端A點(diǎn)飛出，恰好能沒(méi)有碰撞地落到粗糙傾斜軌道的最高B點(diǎn)，并沿軌道滑下．已知AB的豎直高度h=0.45m，傾斜軌道與水平方向夾角為α=37°、傾斜軌道長(zhǎng)為L(zhǎng)=2.0m，帶電小球與傾斜軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5．傾斜軌道通過(guò)光滑水平軌道CD與光滑豎直圓軌道相連，在C點(diǎn)沒(méi)有能量損失，所有軌道都絕緣，運(yùn)動(dòng)過(guò)程小球的電量保持不變．只有過(guò)山車(chē)模型的豎直圓軌道處在范圍足夠大豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)E=2.0×10³V/m．（cos37°=0.8，sin37°=0.6，取g=10m/s²）求：
（1）被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能？
（2）要使小球不離開(kāi)軌道（水平軌道足夠長(zhǎng)），豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件？
（3）如果豎直圓弧軌道的半徑R=0.9m，小球進(jìn)入軌道后可以有多少次通過(guò)豎直圓軌道上距水平軌道高為0.01m的某一點(diǎn)P？

Answer 1

分析：（1）釋放彈簧后彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能．先根據(jù)小球從A到B平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出小球到B點(diǎn)時(shí)豎直分速度，由速度的分解求出到A點(diǎn)的速度，即可根據(jù)機(jī)械能守恒求解被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能．
（2）要使小球不離開(kāi)軌道，有兩種情況：第一種情況：是恰好過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，先由牛頓第二定律和向心力知識(shí)求出到最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求解軌道半徑．第二種情況：小球恰好到豎直圓軌道最右端，由動(dòng)能定理求解軌道半徑．
（3）根據(jù)R=0.9m與上題結(jié)果中軌道半徑R₂的關(guān)系，知道小球沖上圓軌道H₁=0.825m高度時(shí)速度變?yōu)?，然后返回傾斜軌道h₁高處再滑下，然后再次進(jìn)入圓軌道達(dá)到的高度為H₂．對(duì)兩個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理求出H₂與H₁的關(guān)系，歸納得到n次上升高度H_n，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答：解：（1）A到B平拋運(yùn)動(dòng)：v_y²=2gh
代入數(shù)據(jù)解得：v_y=

2gh

=

2×10×0.45

m/s=3m/s
B點(diǎn)：tan37°=

vy

vx

得：v_x=v_A=

vy

tan37°

=

3

3 4

m/s=4m/s
被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能：E_p=

1

2

m

v

2 A

=

1

2

×0.04×42J=0.32J；
（2）B點(diǎn)：v_B=

v 2 x + v 2 y

=

42+32

m/s=5m/s
B到C：（mgsin37°-μmgcos37°）L=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

，
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=

33

m/s
①恰好過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)：mg+qE=m

v 2 0

R1

，
  qE=0.4N=mg
從C到圓軌道最高點(diǎn)：-（mg+qE）2R₁=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 C

得：R₁=0.33m
②恰好到豎直圓軌道最右端時(shí)：-（mg+qE）R₂=0-

1

2

m

v

2 C

得：R₂=0.825m
要使小球不離開(kāi)軌道，豎直圓弧軌道的半徑R≤0.33m或R≥0，825m；
（3）R=0.9m＞R₂，小球沖上圓軌道H₁=0.825m高度時(shí)速度變?yōu)?，然后返回傾斜軌道h₁高處再滑下，然后再次進(jìn)入圓軌道達(dá)到的高度為H₂．
有：（mg+qE）H₁=mgh₁+μmgh₁?

4

3

，
    （mg+qE）H₂=mgh₁-μmgh₁?

4

3

，
同除得：H₂=

1- 4 3 μ

1+ 4 3 μ

H₁=

1

5

H₁之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往返運(yùn)動(dòng)．
同理：n次上升高度H_n=（

1

5

）^n-1H₁（n＞0）為一等比數(shù)列．  
(

1

5

)n-1×0.825≤0.01，當(dāng)n=4時(shí)，上升的最大高度小于0.01m
則小球共有6次通過(guò)距水平軌道高為0.01m的某一點(diǎn)．  
答：
（1）被釋放前彈簧的彈性勢(shì)能為0.32J．
（2）要使小球不離開(kāi)軌道（水平軌道足夠長(zhǎng)），豎直圓弧軌道的半徑R≤0.33m或R≥0，825m．
（3）如果豎直圓弧軌道的半徑R=0.9m，小球進(jìn)入軌道后可以有6次通過(guò)豎直圓軌道上距水平軌道高為0.01m的某一點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)雜的力電綜合題，明確研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問(wèn)題．要注意小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中各個(gè)物理量的變化．