Question

（20分）如圖所示，在坐標(biāo)系xOy所在平面內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)O₁（a , 0），圓內(nèi)分布有垂直xOy平面的勻強(qiáng)磁場。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)放射源，放射源開口的張角為90°，x軸為它的角平分線。帶電粒子可以從放射源開口處在紙面內(nèi)朝各個(gè)方向射出，其速率v、質(zhì)量m、電荷量+q均相同。其中沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點(diǎn)的正上方的P點(diǎn)射出。不計(jì)帶電粒子的重力，且不計(jì)帶電粒子間的相互作用。
（1）求圓形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）a．判斷沿什么方向射入磁場的帶電粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，并求最長時(shí)間；
b．若在y≥a的區(qū)域內(nèi)加一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，放射源射出的所有帶電粒子運(yùn)動(dòng)過程中將在某一點(diǎn)會(huì)聚，若在該點(diǎn)放一回收器可將放射源射出的帶電粒子全部收回，分析并說明回收器所放的位置。

Answer 1

（1）設(shè)圓形磁場區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電粒子在磁場中所受的洛倫茲力提供向心力：

其中R=a
則：
由左手定則判斷磁場方向垂直于xOy平面向里 （6分）

（2）沿與x軸45°向下射出的帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，軌跡如圖，根據(jù)幾何關(guān)系粒子離開磁場時(shí)速度方向沿y軸正方向，∠OO₃Q=135º。
設(shè)該帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)周期公式得：
所以：                （8分）

（3）設(shè)某帶電粒子從放射源射出，速度方向與x軸的夾角為α，做速度v的垂線，截取OO₄=a，以O₄為圓心a為半徑做圓交磁場邊界于M點(diǎn)。由于圓形磁場的半徑與帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑均為a，故OO₁MO₄構(gòu)成一個(gè)菱形，所以O₄M與x軸平行，因此從放射源中射出的所有帶電粒子均沿y軸正方向射出。帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，返回磁場時(shí)的速度與離開磁場時(shí)的速度大小相等方向相反，再進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O₅，OO₄O₅N構(gòu)成一平行四邊形，所以粒子在磁場中兩次轉(zhuǎn)過的圓心角之和為180°，第二次離開磁場時(shí)都經(jīng)過N點(diǎn)。故收集器應(yīng)放在N點(diǎn)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，0）。  （6分）

解析