Question

（2009?咸寧模擬）如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為R=10

3

cm的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.10T，方向垂直紙面向外．豎直平行放置的兩金屬板A、K連在如圖所示的電路中．電源電動(dòng)勢(shì)E=91V，內(nèi)阻r=1.0Ω，定值電阻R₁=10Ω，滑動(dòng)變阻器R₂的最大阻值為80Ω，S₁、S₂為A、K板上的兩個(gè)小孔，且S₁、S₂跟O在豎直極板的同一直線上，另有一水平放置的足夠長(zhǎng)的熒光屏D，O點(diǎn)跟熒光屏D之間的距離為H=3R．比荷為2.0×10⁵C/kg的帶正電的粒子由S₁進(jìn)入電場(chǎng)后，通過(guò)S₂向磁場(chǎng)中心射去，通過(guò)磁場(chǎng)后落到熒光屏D上．粒子進(jìn)入電場(chǎng)的初速度、重力均可忽略不計(jì)．
（1）求如果粒子垂直打在熒光屏上的P點(diǎn)，電壓表的示數(shù)多大？
（2）調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器滑片P的位置，求粒子到打到光屏的范圍．

Answer 1

分析：（1）粒子垂直打在熒光屏上的P點(diǎn)時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡必定為四分之一圓弧，由幾何關(guān)系得其運(yùn)動(dòng)半徑為R，由洛倫茲力提供向心力，可得運(yùn)動(dòng)速度，對(duì)于加速過(guò)程，由動(dòng)能定理可得加速電壓，此即兩板間的電壓
（2）滑動(dòng)片在最左端時(shí)，有歐姆定律可解得結(jié)果，極板間電壓最小，在最右端時(shí)電壓最大，電壓的變化會(huì)引起加速后速度達(dá)到變化，進(jìn)而影響圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變化，故射出磁場(chǎng)時(shí)的偏角改變，射出磁場(chǎng)后粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可得粒子到打到光屏的范圍．

解答：解：（1）設(shè)離子由電場(chǎng)射出后進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v．因離子是沿圓心O的方向射入磁場(chǎng)，由對(duì)稱(chēng)性可知，離子射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向的反向延長(zhǎng)線也必過(guò)圓心O．離開(kāi)磁場(chǎng)后，離子垂直打在熒光屏上（圖中的O′點(diǎn)），則離子在磁場(chǎng)中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，由幾何知識(shí)可知，離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
r′=R=10

3

cm①
設(shè)離子的電荷量為q、質(zhì)量為m，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v有
由qvB=m

mv 2

r′

得
r′=

mv

qB

②
設(shè)兩金屬板間的電壓為U，離子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理有：
qU=

1

2

 mv²③
而

q

m

=2×10⁵C/kg ④
由②③兩式可得
U=

B2r′2q

2m

⑤
代入有關(guān)數(shù)值可得U=30V，也就是電壓表示數(shù)為30V．
（2）當(dāng)滑動(dòng)變阻器滑動(dòng)頭在左端時(shí)，由歐姆定律得：
U₁=

E

R1+R2+r

 R₁=

91

10+80+1

×10v=10V，
qU₁=

1

2

mv

2 1

r1=

mv1

qB

解得：r₁=10cm，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡為圖甲
由幾何關(guān)系得偏轉(zhuǎn)角為θ₁=120°，故α=60°，
打在熒光屏上的M點(diǎn)，MO′=

H

3

=30cm
當(dāng)滑動(dòng)頭在有端時(shí)，由歐姆定律得：
U₂=

E

R1+R2+r

 （R₁+R₂）=90V
qU₂=

1

2

mv

2 2

r2=

mv2

qB

解得r₂=30cm，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的軌跡為圖乙，由幾何關(guān)系得，
偏轉(zhuǎn)角θ₂=60°，故β=60°，打在熒光屏上的N點(diǎn)，且：
OO′N(xiāo)=

H

3

=30cm
故，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器滑片P的位置，粒子到打到光屏的范圍為60cm
答：（1）粒子垂直打在熒光屏上的P點(diǎn)，電壓表的示數(shù)為30V
（2）粒子到打到光屏的范圍為60cm

點(diǎn)評(píng)：本題分析離子的運(yùn)動(dòng)情況是求解的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，考查綜合應(yīng)用電路、磁場(chǎng)和幾何知識(shí)，處理帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．