Question

2．如圖甲所示，在坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，y軸的左側(cè)，有一個(gè)速度選擇器，其中的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，粒子源不斷地釋放出沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量均為m、電量均為+q、速度大小不同的粒子，在y軸的右側(cè)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B，方向垂直于xOy平面，且隨時(shí)間做周期性變化（不計(jì)其產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)粒子的影響），規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�，如圖乙所示，在離y軸足夠遠(yuǎn)的地方有一個(gè)與y軸平行的熒光屏，假設(shè)帶電粒子在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到磁場(chǎng)的一個(gè)變化周期之后，失去電量變成中性粒子（粒子的重力可以忽略不計(jì)）．

（1）從O點(diǎn)射入周期性變化磁場(chǎng)的粒子速度多大；
（2）如果磁場(chǎng)的變化周期恒定為T=$\frac{πm}{Bq}$，要使不同時(shí)刻從原點(diǎn)O進(jìn)入變化磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于磁場(chǎng)的一個(gè)變化周期，則熒光屏離開(kāi)y軸的距離至少多大；
（3）如果磁場(chǎng)的變化周期T可以改變，試求從t=0時(shí)刻經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的粒子打在熒光屏上的位置離x軸的距離與磁場(chǎng)變化周期T的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子沿直線通過(guò)速度選擇器，則洛倫茲力與電場(chǎng)力是一對(duì)平衡力qvB=qE，化簡(jiǎn)可得粒子的速度．
（2）粒子垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，結(jié)合幾何關(guān)系，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出；
（3）結(jié)合（2）的分析與幾何關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）粒子沿直線通過(guò)速度選擇器，則洛倫茲力與電場(chǎng)力平衡，有：qvB₀=qE    
所以：$v=\frac{E}{{B}_{0}v}$ 
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后洛倫茲力提供向心力，則：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$   
所以：r=$\frac{mv}{Bq}$=$\frac{mE}{B{B}_{0}q}$
粒子運(yùn)動(dòng)的周期為：${T}_{0}=\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{Bq}$
由于磁場(chǎng)的變化周期恒定為T=$\frac{πm}{Bq}$=$\frac{1}{2}{T}_{0}$
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期后偏轉(zhuǎn)的角度為90°，任一時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖甲，

要使不同時(shí)刻從原點(diǎn)O進(jìn)入變化磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于磁場(chǎng)的一個(gè)變化周期，熒光屏離開(kāi)y軸的距離至少為：
x=2rsinα+2rsin（90°-α）=2r（sinα+cosα）=$2\sqrt{2}rsin（α+45°）$
所以當(dāng)α=45°時(shí)，x最大，最大值為：$x=2\sqrt{2}r=\frac{2\sqrt{2}mE}{B{B}_{0}q}$
（3）由于兩次磁場(chǎng)的大小相等方向相反，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖乙，經(jīng)過(guò)一個(gè)磁場(chǎng)的變化周期后速度的方向與x軸再次平行，切距離x軸的距離為：
y=2r（1-cosα）
式中的α是粒子在變化的半個(gè)周期內(nèi)偏轉(zhuǎn)的角度，它與周期T的關(guān)系為：
$\frac{T}{2}=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{αm}{qB}$
所以：$α=\frac{BqT}{2m}$
則在經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后粒子到x軸的距離：y=$\frac{2mE}{B{B}_{0}q}（1-cos\frac{BqT}{2m}）$

由于只在y軸的右側(cè)有磁場(chǎng)，所以帶電粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的角度不超過(guò)150°，如圖丙所示，即磁場(chǎng)的周期變化有一個(gè)最大值：$\frac{{T}_{M}}{2}=\frac{\frac{5}{6}πm}{qB}$
所以正確：T＜T_m=$\frac{5πm}{3Bq}$
所以粒子到x軸的距離：y=$\frac{2mE}{B{B}_{0}q}（1-cos\frac{BqT}{2m}）$（T＜$\frac{5πm}{3Bq}$）
答：（1）從O點(diǎn)射入周期性變化磁場(chǎng)的粒子速度為$\frac{E}{{B}_{0}v}$；
（2）如果磁場(chǎng)的變化周期恒定為T=$\frac{πm}{Bq}$，要使不同時(shí)刻從原點(diǎn)O進(jìn)入變化磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于磁場(chǎng)的一個(gè)變化周期，則熒光屏離開(kāi)y軸的距離至少是$\frac{2\sqrt{2}mE}{B{B}_{0}q}$；
（3）如果磁場(chǎng)的變化周期T可以改變，試求從t=0時(shí)刻經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的粒子打在熒光屏上的位置離x軸的距離與磁場(chǎng)變化周期T的關(guān)系為y=$\frac{2mE}{B{B}_{0}q}（1-cos\frac{BqT}{2m}）$（T＜$\frac{5πm}{3Bq}$）．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合粒子速度選擇器考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子垂直射入電場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求能夠畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式．