Question

如圖所示，兩個金屬輪A₁、A₂，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細(xì)軸O₁和O₂轉(zhuǎn)動，O₁和O₂相互平行，水平放置。每個金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁輪的輻條長為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長為a₂、電阻為R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略。半徑為a₀的絕緣圓盤D與A₁同軸且固連在一起。一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P。當(dāng)P下落時，通過細(xì)繩帶動D和A₁繞O₁軸轉(zhuǎn)

動。轉(zhuǎn)動過程中，A₁、A₂保持接觸，無相對滑動；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連。除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計。整個裝置處在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行�，F(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時的速度。

Answer 1

v=

解析:

P被釋放后，細(xì)繩的張力對D產(chǎn)生機械力矩，帶動D和A₁作逆時針的加速轉(zhuǎn)動，通過兩個輪子之間無相對運動的接觸，A₁帶動A₂作順時針的加速運動。由于兩個輪子的輻條切割磁場線，所以在A₁產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動勢，在A₂產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動勢，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路。A₁、A₂中各輻條上流有沿電動勢方向的電流，在磁場中輻條受到安培力。不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使A₁、A₂加速轉(zhuǎn)動的勢頭減緩。A₁、A₂從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機械力矩相等，D、A₁和A₂停止作加速轉(zhuǎn)動，均作勻角速轉(zhuǎn)動，此時P勻速下落，設(shè)其速度為v，則A₁的角速度  (1)

A₁帶動A₂轉(zhuǎn)動，A₂的角速度ω₂與A₁的角速度ω₁之間的關(guān)系為ω₁a₁=ω₂a₂  （2）

A₁中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢均為  （3）

軸與輪邊之間的電動勢就是A₁中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值見（3）式。

同理，A₂中，軸與輪邊之間的電動勢就是A₂中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值為（4）

A₁中每根輻條的電阻為R₁，軸與輪邊之間的電動勢就是A₁中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A1=（5）  

A₂中每根輻條的電阻為R₂，軸與輪邊之間的電動勢就是A₂中四條輻條電動勢的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A2=（6）

A₁輪、A₂輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為I=（7）

以（1）至（6）式代入（7）式，得I=（8）

當(dāng)P勻速下降時，對整個系統(tǒng)來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即

   mgv=I²(R++)   （9）    

 以（8）式代入（9）式得v=(10)