Question

如圖所示，足夠長(zhǎng)的U型金屬框架放置在絕緣斜面上，斜面傾角30°，框架的寬度l=1.0m、質(zhì)量M=1.0kg．導(dǎo)體棒ab垂直放在框架上，且可以無摩擦的運(yùn)動(dòng)．設(shè)不同質(zhì)量的導(dǎo)體棒ab放置時(shí)，框架與斜面間的最大靜摩擦力均為F_max=7N．導(dǎo)體棒ab電阻R=0.02Ω，其余電阻一切不計(jì)．邊界相距d的兩個(gè)范圍足夠大的磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ，方向相反且均垂直于金屬框架，磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B=0.2T．導(dǎo)體棒ab從靜止開始釋放沿框架向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到即將離開Ⅰ區(qū)域時(shí)，框架與斜面間摩擦力第一次達(dá)到最大值；導(dǎo)體棒ab繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它剛剛進(jìn)入Ⅱ區(qū)域時(shí)，框架與斜面間摩擦力第二次達(dá)到最大值．（g=10m/s²）．求：
（1）磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離d；
（2）欲使框架一直靜止不動(dòng)，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量應(yīng)該滿足的條件；
（3）質(zhì)量為1.6kg的導(dǎo)體棒ab在運(yùn)動(dòng)的全過程中，金屬框架受到的最小摩擦力．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒即將離開Ⅰ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向下，框架與斜面間摩擦力第一次達(dá)到最大值，根據(jù)平衡條件求出靜摩擦力的最大值．根據(jù)安培力的表達(dá)式求出此時(shí)的速度．導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向上，根據(jù)平衡條件求出此時(shí)金屬框受到的靜摩擦力最大值．再由安培力表達(dá)式求出此時(shí)的速度．導(dǎo)體棒在兩磁場(chǎng)邊界之間做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)速度位移關(guān)系公式求出d．
（2）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)Ⅰ中已經(jīng)達(dá)到最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平衡條件求出棒的質(zhì)量的最小值．欲使金屬框架不動(dòng)，導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ后電流不再增大，也做勻速運(yùn)動(dòng)，再由平衡條件求出棒的質(zhì)量的最大值．再求出導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量范圍．
（3）分別根據(jù)牛頓第二定律和安培力的表達(dá)式求出棒在區(qū)域Ⅰ、無場(chǎng)區(qū)和區(qū)域Ⅱ時(shí)摩擦力的范圍，再求解摩擦力的最小值．

解答：解：
（1）導(dǎo)體棒即將離開Ⅰ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向下，對(duì)金屬框由平衡條件得
     f_max=Mgsin30°+F_A1max
解得，F(xiàn)_A1max=2N
導(dǎo)體棒受安培力：F_A1max=

B2L2v1

R

，解得υ₁=1m/s
導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向上，對(duì)金屬框由平衡條件得
  f_max′=F_A2max-Mgsin30°
解得，F(xiàn)_A2max=12N
導(dǎo)體棒受安培力：F_A2max=

B2L2v2

R

代入解得，υ₂=6m/s
導(dǎo)體棒在兩磁場(chǎng)邊界之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，mgsin30°=ma，
解得，a=5m/s²
則有d=

v 2 2 - v 2 1

2a

=3.5m
（2）導(dǎo)體棒離開Ⅰ之前，速度至少要達(dá)到υ₁=1m/s．設(shè)此時(shí)導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)Ⅰ中已經(jīng)達(dá)到最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)，
由平衡條件得：m₁gsin30°=F_A1max，求得m₁=0.4kg
欲使金屬框架不動(dòng)，導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ后電流不再增大，做勻速運(yùn)動(dòng)．由平衡條件得：
m₂gsin30°=F_A2max，求得m₂=2.4kg
即導(dǎo)體棒的質(zhì)量應(yīng)為：0.4kg＜m＜2.4kg
（3）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)Ⅰ中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得：mgsin30°-F_A1=ma
  其中，FA1=

B2L2υ

R

導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，最大速度為1m/s．安培力在逐漸增大，最小值是0，最大值為2N．    
此過程中對(duì)金屬棒，由平衡條件得f=Mgsin30°+F_A1′
F_A1′=F_A1
可知金屬框與斜面的摩擦力范圍為：5N～7N．    
導(dǎo)體棒在無場(chǎng)區(qū)時(shí)，金屬框與斜面的摩擦力恒為5N．
導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)Ⅱ中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得：F_A2-mgsin30°=ma
又FA2=

B2L2υ

R

導(dǎo)體棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，最大速度為6m/s．當(dāng)a=0時(shí)，速度最小，以后做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度為4m/s．安培力在逐漸減小，最小值是8N，最大值為12N．                                      
此過程中對(duì)金屬棒，由平衡條件得：f′=F_A2-Mgsin30°，F(xiàn)_A2′=F_A2
可知金屬框與斜面的摩擦力范圍為：3N～7N．  
綜上所述，金屬框受到的最小摩擦力為3N．      
答：
（1）磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離d=3.5m；
（2）欲使框架一直靜止不動(dòng)，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量應(yīng)該滿足的條件是0.4kg＜m＜2.4kg；
（3）質(zhì)量為1.6kg的導(dǎo)體棒ab在運(yùn)動(dòng)的全過程中，金屬框架受到的最小摩擦力為3N．

點(diǎn)評(píng)：本題分析物體的受力至關(guān)重要，安培力的經(jīng)驗(yàn)公式FA1=

B2L2υ

R

經(jīng)常用到，在推導(dǎo)的基礎(chǔ)上記住，對(duì)分析導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)作用很大．