Question

2．如圖，MNQO為有界的豎直向下的勻強電場，ACB為光滑固定的半圓形軌道，圓形軌道半徑為R，AB為圓水平直徑的兩個端點，C為半圓軌道的最低點（在電場中）．一質量為m，電荷量為-q的帶電小球從A點正上方高H處由靜止釋放，并從A點沿切線進入半圓軌道，不計空氣阻力，重力加速度大小為g．
（1）若電場強度E₁=$\frac{mg}{q}$，求小球由釋放經A到C的時間；
（2）電場強度E₂為多大時，小球恰能沿軌道運動，且到達B點時的速度為零；
（3）若電場強度E₃=$\frac{{E}_{2}}{2}$，要使小球能沿軌道到達B點，求H應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）小球從A點前是自由落體運動，根據位移公式列式求解運動時間，根據速度公式求解末速度；從A到C過程，重力和電場力平衡，小球做勻速圓周運動，可以求解時間；
（2）對從釋放到B點過程運用動能定理列式求解即可；
（3）要使小球能沿軌道到達B點，臨界情況是到達B點的速度為零，對從釋放點到B點過程運用動能定理列式求解即可．

解答 解：（1）小球自由落體運動過程：H=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，解得：t₁=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$；
A點速度：v_A=gt₁=$\sqrt{2gH}$；
從A到C過程，重力等于電場力，平衡，故球做勻速圓周運動，時間：t₂=$\frac{πR}{{v}_{A}}$=$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
故從釋放到C點的時間愛你為：t=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$+$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
（2）對從釋放到C點過程，根據動能定理，有：
mgH-qE₂R=0
解得：E₂=$\frac{mgH}{qR}$；
（3）對從釋放到C點過程，根據動能定理，有：
mgH₀-q$\frac{E_2}{2}$R=0
解得：H₀=$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$；
故要使小球能沿軌道到達B點，應該滿足H＞$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$；
答：（1）若電場強度E₁=$\frac{mg}{q}$，小球由釋放經A到C的時間為$\sqrt{\frac{2H}{g}}$+$\frac{πR}{\sqrt{2gH}}$；
（2）電場強度E₂為$\frac{mgH}{qR}$時，小球恰能沿軌道運動，且到達B點時的速度為零；
（3）若電場強度E₃=$\frac{{E}_{2}}{2}$，要使小球能沿軌道到達B點，H應滿足的條件為H＞$\frac{{q{E_2}R}}{2mg}$．

點評 本題關鍵是明確小球的受力情況和運動情況，要多次結合動能定理列式求解，不難．