(2008?徐州三模)如圖所示,在傾角θ=30°、足夠長的斜面上分別固定著兩個物體A.B,相距L=0.2m,它們的質(zhì)量mA=mB=1kg,與斜面間的動摩擦因數(shù)分別為μA=
3
6
μB=
3
3
.在t=0時刻同時撤去固定兩物體的外力后,A物體將沿斜面向下運動,并與B物體發(fā)生連續(xù)碰撞(碰撞時間極短,忽略不計),每次碰后兩物體交換速度.g取10m/s2.求:
(1)A與B第一次碰后瞬時B的速率?
(2)從A開始運動到兩物體第二次相碰經(jīng)歷多長時間?
(3)至第n次碰撞時A、B兩物體通過的路程分別是多少?
分析:(1)根據(jù)牛頓第二定律分別求出A、B的加速度,得出A、B的運動規(guī)律,物體B恰好靜止于斜面上,物體A將沿斜面向下做勻加速直線運動. 結(jié)合運動學(xué)公式求出碰撞前的速度,從而得出碰后瞬間B的速率.
(2)根據(jù)勻變速直線運動的位移時間公式求出第一次碰撞所需的時間,結(jié)合運動學(xué)公式,抓住碰后A做初速度為零的勻加速直線運動,B做勻速直線運動求出第二次碰撞所需的時間,從而得出從A開始運動到兩物體第二次相碰經(jīng)歷的時間.
(3)從第2次碰撞開始,每次A物體運動到與B物體碰撞時,速度增加量均為△v=at2=2.5×0.8m/s=2m/s,抓住碰后速度交換,結(jié)合運動學(xué)公式求出至第n次碰撞時A、B兩物體通過的路程.
解答:解:(1)A物體沿斜面下滑時有mAgsinθ-μAmAgcosθ=mAaA
∴aA=gsinθ-μAmAgcosθ
aA=gsin300-
3
6
gcos300=2.5
m/s2     
B物體沿斜面下滑時有mBgsinθ-μBmBgcosθ=mBaB
∴aB=gsinθ-μBmBgcosθ
aB=gsin300-
3
3
gcos300=0

綜上分析可知,撤去固定A、B的外力后,物體B恰好靜止于斜面上,物體A將沿斜面向下做勻加速直線運動.                             
由運動學(xué)公式得A與B第一次碰撞前的速度vA1=
2aL
=
2×2.5×0.2
=1m/s

由于AB碰撞后交換速度,故AB第一次碰后瞬時,B的速率v'B1=vA1=1m/s
(2)從AB開始運動到第一次碰撞用時t1=
2L
a
=
2×0.2
2.5
=0.4s

兩物體相碰后,A物體的速度變?yōu)榱,以后再做勻加速運動,而B物體將以vB2=v'B1=1m/s的速度沿斜面向下做勻速直線運動.              
設(shè)再經(jīng)t2時間相碰,則有vB1t2=
1
2
a
t
2
2

解之可得t2=0.8s                     
故從A開始運動到兩物體第二次相碰,共經(jīng)歷時間t=t1+t2=0.4+0.8=1.2s  
(3)從第2次碰撞開始,每次A物體運動到與B物體碰撞時,速度增加量均為△v=at2=2.5×0.8m/s=2m/s,由于碰后速度交換,因而碰后B物體的速度為:
第一次碰后:vB1=1m/s
第二次碰后:vB2=2m/s
第三次碰后:vB3=3m/s

第n次碰后:vBn=nm/s
每段時間內(nèi),B物體都做勻速直線運動,則第n次碰前所運動的距離為
sB=[1+2+3+…+(n-1)]×t2=
2n(n-1)
5
m   (n=1,2,3,…,n-1)
A物體比B物體多運動L長度,則
sA=L+sB=[0.2+
2n(n-1)
5
]m    
答:(1)A與B第一次碰后瞬時B的速率為1m/s.
(2)從A開始運動到兩物體第二次相碰經(jīng)歷了1.2s.
(3)至第n次碰撞時A、B兩物體通過的路程分別是[0.2+
2n(n-1)
5
]m、
2n(n-1)
5
m,(n=1,2,3,…,n-1).
點評:解決本題的關(guān)鍵理清A、B碰撞前后的運動規(guī)律,結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解.
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