Question

兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球半徑為R，a衛(wèi)星離地面的高度為R，b衛(wèi)星離地面的高度為3R，則a、b兩衛(wèi)星周期之比多大？若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面上同一點(diǎn)的正上方，a衛(wèi)星至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：衛(wèi)星做速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面上同一點(diǎn)的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)角度相差π時(shí)，相距最遠(yuǎn)．

解答：解：（1）由題兩衛(wèi)星的軌道分別為 R_a=2R，R_b=4R
由開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律

R3

T2

=k，k相同，則得

R 3 a

T 2 a

=

R 3 b

T 2 b

所以T_a：T_b=

R

3 2 a

：

R

3 2 b

=1：2

2

 
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間 二者第一次相距最遠(yuǎn)，若兩衛(wèi)星同向運(yùn)轉(zhuǎn)，此時(shí)a比b多轉(zhuǎn)π角度，
則 

2π

Ta

?t-

2π

Tb

?t=π
這段時(shí)間a經(jīng)過(guò)的周期數(shù)為n=

t

Ta

解得，n=

4+ 2

7

若衛(wèi)星反向運(yùn)轉(zhuǎn)，則

2π

Ta

?t′+

2π

Tb

?t′=π
這段時(shí)間a經(jīng)過(guò)的周期數(shù)為n′=

t′

Ta

解得，n′=

4- 2

7

答：a、b兩衛(wèi)星周期之比為1：2

2

，若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面上同一點(diǎn)的正上方，a衛(wèi)星至少經(jīng)過(guò)

4+ 2

7

或

4- 2

7

個(gè)周期兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題既可應(yīng)用萬(wàn)有引力提供向心力求解，也可應(yīng)用開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律求解，以后者較為方便，兩衛(wèi)星何時(shí)相距最遠(yuǎn)的求解，要分同向運(yùn)轉(zhuǎn)與反向運(yùn)轉(zhuǎn)兩種情形，用到的數(shù)學(xué)變換相對(duì)較多，增加了本題難度．