Question

【題目】半徑為r的豎直光滑圓軌道固定在光滑木板AB中央，置于光滑水平桌面．圓軌道和木板AB的總質(zhì)量為m，木板AB兩端被限定，無法水平移動(dòng)，可豎直移動(dòng)．木板AB的右端放置足夠長的木板CD，其表面與木板AB齊平，質(zhì)量為2m．一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓軌道最低點(diǎn)以一定的初速度v0向右運(yùn)動(dòng)進(jìn)入圓軌道，運(yùn)動(dòng)一周后回到最低點(diǎn)并向右滑上水平木板AB和CD，最終與木板CD保持相對(duì)靜止，滑塊與木板CD間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，其余摩擦均不計(jì)，則：

（1）為保證滑塊能通過圓軌道的最高點(diǎn)，求初速度v0的最小值；

（2）為保證滑塊通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，木板AB不離開地面，求初速度v0的最大值；

（3）若滑塊恰能通過圓軌道最高點(diǎn)，求滑塊在木板CD上滑動(dòng)產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）滑塊在最高點(diǎn)，速度最小時(shí)有：

從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，滑塊機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊最低點(diǎn)的初速度為v01，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：

解得

（2）要使木板AB不離地，滑塊在最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力最大為FN＝mg，滑塊在最高點(diǎn)，速度最大時(shí)有：

設(shè)滑塊最低點(diǎn)的初速度為v02時(shí)，在最高點(diǎn)有最大速度，根據(jù)機(jī)械能守恒定律：

解得

（3）由（1）可知，滑塊恰能通過最高點(diǎn)，并由機(jī)械能守恒可得，滑塊滑到木板CD時(shí)的初速度為；

由受力分析可知，滑塊在木板CD上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，木板CD做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小分別為

設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，兩者速度相等均為v，則有v＝v0－a1t＝a2t

解得

這段時(shí)間內(nèi)，滑塊位移

木板CD的位移

滑塊相對(duì)木板CD的位移為

故這一過程中產(chǎn)生的熱量

（另解：可相應(yīng)得分）