Question

17．用如圖所示的淺色水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運(yùn)送到斜面的頂端．AB距離L=11m，傳送帶始終以v=12m/s勻速順時(shí)針運(yùn)行．傳送帶B端靠近傾角θ=37°的斜面底端，斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計(jì)的小圓�。�在A、C處各有一個(gè)機(jī)器人，A處機(jī)器人每隔t=1.0s將一個(gè)質(zhì)量m=10kg、底部有碳粉的貨物箱（可視為質(zhì)點(diǎn)）輕放在傳送帶A端，貨物箱經(jīng)傳送帶和斜面后到達(dá)斜面頂端的C點(diǎn)時(shí)速度恰好為零，C點(diǎn)處機(jī)器人立刻將貨物箱搬走．已知斜面BC的長度s=5.0m，傳送帶與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₀=0.55，貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的$\frac{1}{11}$，不計(jì)傳送帶輪的大小，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）如果C點(diǎn)處的機(jī)器人操作失誤，未能將第一個(gè)到達(dá)C點(diǎn)的貨物箱搬走而造成與第二個(gè)貨物箱在斜面上相撞．求兩個(gè)貨物箱在斜面上相撞的位置到C點(diǎn)的距離； （本問結(jié)果可以用根式表示）
（3）從第一個(gè)貨物箱放上傳送帶A端開始計(jì)時(shí)，在t₀=2s的時(shí)間內(nèi)，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度．

Answer 1

分析 （1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出貨物箱運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端時(shí)的速度，進(jìn)而求出貨物箱剛沖上斜面時(shí)的速度，貨物箱在斜面上向上運(yùn)動(dòng)過程中根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速度，對(duì)貨物箱進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律即可求得μ；
（2）先計(jì)算第一個(gè)貨物箱到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，第二個(gè)貨物箱的位置，此時(shí)第一個(gè)貨物箱向下加速運(yùn)動(dòng)，第二個(gè)貨物箱向上減速運(yùn)動(dòng)，分別求出它們的加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求解；
（3）2.0s內(nèi)放上傳送帶的貨物箱有2個(gè)，分別求出2個(gè)貨物箱相對(duì)于傳送帶的位移，即可求解．

解答 解：（1）貨物箱在傳送帶上做勻加速運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)牛頓第二定律有：μ₀mg=ma₀
解得：a₀=μ₀g=5.5m/s²                                      
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：v₁²=2a₀L
解得貨物箱運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端時(shí)的速度大小為：v₁=11m/s
貨物箱剛沖上斜面時(shí)的速度 v₂=（1-$\frac{1}{11}$）v₁=10m/s
貨物箱在斜面上向上運(yùn)動(dòng)過程中v₂²=2a₁s
解得：a₁=10m/s²                                   
根據(jù)牛頓第二定律：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得：μ=0.5；                                   
（2）貨物箱由A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間為2.0s，由B運(yùn)動(dòng)到C的時(shí)間為1.0s，可見第一個(gè)貨物箱沖上斜面C端時(shí)第二個(gè)貨物箱剛好沖上斜面．
貨物箱沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得加速度大小a₂=2.0m/s²                                 
設(shè)第一個(gè)貨物箱在斜面C端沿斜面向下運(yùn)動(dòng)與第二個(gè)貨物箱相撞的過程所用時(shí)間為t，
有：v₂t-$\frac{1}{2}$a₁t ²+$\frac{1}{2}$a₂t ²=s
解得：t=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s≈0.69 s                               
兩個(gè)貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{1}{2}×2.0×（\frac{5-\sqrt{5}}{4}）^{2}$m=$\frac{30-10\sqrt{5}}{16}m$≈0.48m  
（2）2.0s內(nèi)放上傳送帶的貨物箱有2個(gè)，第1個(gè)在傳送帶上的加速時(shí)間t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{11}{5.5}s$=2.0s；第2個(gè)還在傳送帶上運(yùn)動(dòng)，其加速時(shí)間 t₃=1.0s．
第1個(gè)貨物箱與傳送帶之間的相對(duì)位移
△s=vt₁-$\frac{1}{2}$v₁t₁=12×2-$\frac{1}{2}×11×2$=13m
第2個(gè)貨物箱與傳送帶之間的相對(duì)位移△s′=vt₃-$\frac{1}{4}$v₁t₃=12×1-$\frac{1}{4}×$11×1=9.25m                          
從第一個(gè)貨物箱放上傳送帶A端開始計(jì)時(shí)，在t₀=2s的時(shí)間內(nèi)，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度為：
x=△s+△s′=13m+9.25m=22.25m．
答：（1）斜面與貨物箱之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.5；
（2）兩個(gè)貨物箱在斜面上相撞的位置到C點(diǎn)的距離為0.48m； 
（3）從第一個(gè)貨物箱放上傳送帶A端開始計(jì)時(shí)，在t₀=2s的時(shí)間內(nèi)，貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度為22.25m．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．