Question

7．飛索過河可能讓許多成年人都膽戰(zhàn)心驚，然而在云南省福貢縣，一些學(xué)生的小朋友卻必須用溜索飛渡激流洶涌的怒江上學(xué)，盡管這樣，小朋友們依然自信滿滿地走在上學(xué)路上，最終通過知識(shí)走出大山，改變命運(yùn)，這些溜索可以看成一條理想化的拋物線，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．已知該粗糙的溜索對(duì)應(yīng)的拋物線方程為y=$\frac{1}{20}$x²（x＜0），一個(gè)質(zhì)量為m的小朋友從靜止沿粗糙的溜索從（-2$\sqrt{10}$，2）點(diǎn)滑到B（-2$\sqrt{5}$，1）點(diǎn)時(shí)速度最大，之后該小朋友運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)速度恰好減為零，已知B點(diǎn)的向心力可以忽略，A到B的過程中摩擦力做功的大小為W，重力加速度為g，求：
（1）過B點(diǎn)的速度v的大小
（2）B點(diǎn)到O點(diǎn)的過程中摩擦力做的功
（3）求索曲面的動(dòng)摩擦因素的大�。�

Answer 1

分析 （1）小朋友從A到B的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理可求得過B點(diǎn)的速度v的大�。�
（2）從B點(diǎn)到O點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求摩擦力做的功．
（3）在B點(diǎn)時(shí)速度最大，小朋友沿切線方向的合力為零．根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出切線的傾角正切，由平衡條件求動(dòng)摩擦因素的大�。�

解答 解：（1）小朋友從A到B的過程，由動(dòng)能 定理得：
mgh-W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
且 h=1m
解得：過B點(diǎn)的速度v的大小為：v=$\sqrt{2（gh-\frac{W}{m}）}$=$\sqrt{2（g-\frac{W}{m}）}$．
（2）從B點(diǎn)到O點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgh′+W_f=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
且 h′=1m
解得摩擦力做的功為：W_f=W-2mg．
（3）由題意可知，B點(diǎn)的切線斜率為：k=y′=$\frac{x}{10}$
代入數(shù)據(jù)得：k=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
則有，切線傾角的正切絕對(duì)值 tanα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
在B點(diǎn)時(shí)速度最大，則該點(diǎn)沿切線方向的合外力為0．在Bh點(diǎn)對(duì)m受力分析，則有
   mgsinα=f
  F_N=mgcosα
又 f=μF_N
代入數(shù)據(jù)解得 μ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
答：（1）過B點(diǎn)的速度v的大小是$\sqrt{2（g-\frac{W}{m}）}$．
（2）B點(diǎn)到O點(diǎn)的過程中摩擦力做的功為W-2mg．
（3）索曲面的動(dòng)摩擦因素的大小為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚哪些力對(duì)m做功，分段運(yùn)用動(dòng)能定理．要知道B點(diǎn)隱含的條件：合外力為零，速度最大．