Question

【題目】如圖所示，已知半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，甲軌道左側又連接一個光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑上甲軌道，通過動摩擦因數為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開圓軌道．若小球在兩圓軌道的最高點對軌道壓力都恰好為零．試求：

（1）小球分別經過C、D時的速度VC和VD的大��；
（2）小球由靜止釋放時的高度h；
（3）水平CD段的長度l．

Answer 1

【答案】
（1）

解：小球在光滑圓軌道上滑行時，機械能守恒，設小球滑過C點時的速度為vc，通過甲環(huán)最高點速度為v′，

根據小球對最高點壓力為零，有：mg= ①

取軌道最低點為零勢能點，由機械守恒定律得： mvC2=mg2R+ mv′2②

由①、②兩式消去v′，可得vC= ③

同理可得小球滑過D點時的速度vD= ④

所以小球經過C點的速度為 ； 經過D點的速度為

（2）

解：小球從在甲軌道左側光滑軌道滑至C點時機械能守恒，有：mgh= mvC2⑤

由③、⑤兩式聯立解得 h=2.5R

（3）

解：設CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應用動能定理可得：﹣μmgl= mvD2﹣ mvC2⑥

由③、④、⑥三式聯立解得l=

【解析】（1）小球滾到兩圓軌道最高點均僅受重力，運用向心力公式可求出在其位置的速度；（2）因為軌道光滑，則由機械能守恒定律可求出軌道最低點速度，從而也求出釋放的高度；（3）由于CD段粗糙，不能運用機械守恒定律，選用動能定理，就可算出長度．