Question

11．如圖甲所示，一豎直平面內(nèi)的軌道，由粗糙斜面AD和光滑圓軌道DCE兩部分組成，AD與DCE相切于D點，C為圓軌道的最低點，現(xiàn)將一小物塊置于軌道ADC上離地面高為H處由靜止下滑，用力傳感器測出其經(jīng)過C點時對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應的F的大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙折線PQI所示，重力加速度g取10m/s²，求：

（1）小物塊的質(zhì)量；
（2）斜面的傾角；
（3）小物塊與斜面AD間的動摩擦因數(shù)μ．

Answer 1

分析 （1）研究H≤0.4m的情況，根據(jù)機械能守恒定律和牛頓第二定律得出F與H的關(guān)系式，由圖象乙的信息求得物體的質(zhì)量和R；
（2）根據(jù)圓軌道的半徑R，可根據(jù)幾何關(guān)系得到軌道DC所對圓心角，從而得到斜面的傾角；
（3）對物塊從最高點到C點的過程運用動能定理列式，再對最低點運用向心力公式和牛頓第二定律列式，聯(lián)立后求解出彈力F的一般表達式，再根據(jù)圖象求解出動摩擦因數(shù)．

解答 解：（1）當H≤0.4m時，根據(jù)機械能守恒定律得：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：F=$\frac{2mg}{R}$H+mg
由圖乙斜率和截距得：
$\frac{2mg}{R}$=$\frac{8-4}{0.4}$=10
mg=4
可得：m=0.4kg，R=0.8m
（2）由幾何關(guān)系得：
  cos∠DOC=$\frac{0.4}{0.8}$=0.5，∠DOC=60°
則得斜面的傾角為：α=∠DOC=60°
（3）當H＞0.4m時，根據(jù)動能定理得：
mgH-μmgcosα•$\frac{H-0.4}{sinα}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C點，由牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：F=mg+$\frac{2mgH-2\sqrt{3}μmg（H-0.4）}{R}$
將F=（6+10$\sqrt{3}$）N、H=（$\sqrt{3}$+0.4）m代入解得：μ=0.2
答：（1）小物塊的質(zhì)量是0.4kg；
（2）斜面的傾角是60°；
（3）小物塊與斜面AD間的動摩擦因數(shù)μ是0.2．

點評 本題關(guān)鍵是對分析清楚滑塊的各個運動過程，然后運用動能定理、機械能守恒定律和向心力公式，結(jié)合圖象聯(lián)立方程組得到F與H的關(guān)系式．