Question

經(jīng)過用天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，使我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體構(gòu)成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離．一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來(lái)處理．現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定：該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是m兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．
（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算；
（2）若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T_觀測(cè)，且T_觀測(cè)：T_計(jì)算=1：

N

（N＞1）．為了解釋T_觀測(cè)與T_計(jì)算的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)．若不考慮其他暗物質(zhì)的影響，請(qǐng)根據(jù)這一模型和上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質(zhì)引力和星星引力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解密度．

解答：解：
（1）雙星均繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的速率為v，得
m

v2

L 2

=

Gm2

L2

①
解得：
v=

Gm 2L

②
則周期為：T計(jì)算=

2π L 2

v

=πL

2L Gm

③
（2）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期：
T觀測(cè)=

1

N

T計(jì)算＜T計(jì)算④
這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m′，位于中點(diǎn)O處的質(zhì)點(diǎn)的作用相同．考慮暗物質(zhì)作用后雙星的速度即為觀察到的速度v_觀測(cè)，則有
 m

v觀測(cè)2

L 2

=

Gm2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

⑤
解得：
v觀測(cè)=

G(m+4m′) 2L

⑥
因?yàn)樵谥荛L(zhǎng)一定時(shí)，周期和速度成反比，由④式得 

1

v觀測(cè)

=

1

N

?⑦
把②⑥式代入⑦式得：
 m′=

N-1

4

m
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則：

4

3

π(

L

3

)3ρ=

N-1

4

m
解得：
ρ=

3(N-1)m

2πL3

．
答：
（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算=πL

2L Gm

（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度ρ=

3(N-1)m

2πL3

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵找出向心力來(lái)源，然后根據(jù)牛頓第二定律列方程求解，要細(xì)心，不難．